Question

如圖①，在梯形ABCD中，CD∥AB，∠ABC=90°，∠DAB=60°，AD=2，CD=4．另有一直角三角形EFG，∠EFG=90°，點G與點D重合，點E與點A重合，點F在AB上，讓△EFG的邊EF在AB上，點G在DC上，以每秒1個單位的速度沿著AB方向向右運動，如圖②，點F與點B重合時停止運動，設運動時間為t秒．
（1）在上述運動過程中，請分別寫出當四邊形FBCG為正方形和四邊形AEGD為平行四邊形時對應時刻t的值或范圍；
（2）以點A為原點，以AB所在直線為x軸，過點A垂直于AB的直線為y軸，建立如圖③所示的坐標系．求過A，D，C三點的拋物線的解析式；
（3）探究：延長EG交（2）中的拋物線于點Q，是否存在這樣的時刻t使得△ABQ的面積與梯形ABCD的面積相等？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AD=2，
∴解直角△DAF可得AF=1，DF=，
當時，四邊形FBCG為正方形．
當0＜t≤4時，四邊形AEGD為平行四邊形．

（2）點D、C的坐標分別是（），（5），
∵拋物線經(jīng)過原點O（0，0），
∴設拋物線的解析式為y=ax²+bx，
將D、C兩點坐標代入得，
解得，
∴拋物線的解析式為y=-x²+x；

（3）∵點Q在拋物線上，
∴點Q（x，-x²+x），
過點Q作QM⊥x軸于點M，又B（5，0），
則S_△ABQ=AB•QM=|-x²+x|=|-x²+6x|；
又S_{四邊形ABCD}=（4+5）××=，
令|-x²+6x|=，
∵EG的延長線與拋物線交于x軸的上方，
∴-x²+6x=9解得x=3，
當x=3時，y=-×9+×3=，
∵∠QEM=60°，
∴EM==÷=，
∴t=3-（秒）．
即存在這樣的時刻t，當t=秒時，△AQB的面積與梯形ABCD的面積相等．
分析：（1）∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AD=2，解直角△DAF可得DF=，又FB=4-t，當GF=FB時，四邊形FBCG為正方形，即=4-t，G、C重合之前，始終有GE∥OE，DG∥OE，故當0＜t≤4時，四邊形AEGD為平行四邊形；
（2）解直角△EFG得GF=，EF=1，又AD=2，∴點D、C的坐標分別是（），（5），拋物線經(jīng)過原點，可求拋物線解析式；
（3）梯形ABCD面積可求，△ABQ的底邊AB為已知，由此可求AB邊上的高，即點Q的縱坐標，根據(jù)拋物線解析式求橫坐標，進一步求出E點位置，可得出運動時間t．
點評：本題考查了四邊形的判定方法，點的坐標及拋物線解析式的求法，并用面積法探討了一些實際問題，具有較強的綜合性．