Question

某企業(yè)為手機(jī)產(chǎn)業(yè)基地提供手機(jī)配件，受人民幣走高的影響，從去年1至9月，該配件的原材料價(jià)格一路攀升，每件配件的原材料價(jià)格y₁（元）與月份x（1≤x≤9，且x取整數(shù)）之間的函數(shù)關(guān)系如下表：

月份x	1	2	3	4	5	6	7	8	9
價(jià)格y1（元/件）	56	58	60	62	64	66	68	70	72

隨著國(guó)家調(diào)控措施的出臺(tái)，原材料價(jià)格的漲勢(shì)趨緩，10至12月每件配件的原材料價(jià)格y₂（元）與月份x（10≤x≤12，且x取整數(shù)）之間存在如圖所示的變化趨勢(shì)：
（1）請(qǐng)觀察題中的表格，用所學(xué)過(guò)的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，直接寫出y₁與x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)如圖所示的變化趨勢(shì)，直接寫出y₂與x之間滿足的一次函數(shù)關(guān)系式；
（2）若去年該配件每件的售價(jià)為100元，生產(chǎn)每件配件的人力成本為5元，其它成本3元，該配件在1至9月的銷售量p₁（萬(wàn)件）與月份x滿足函數(shù)關(guān)系式p₁=0.1x+1.1（1≤x≤9，且x取整數(shù)），10至12月的銷售量p₂（萬(wàn)件）與月份x滿足函數(shù)關(guān)系式p₂=-0.1x+2.9（10≤x≤12，且x取整數(shù)）．求去年哪個(gè)月銷售該配件的利潤(rùn)最大，并求出這個(gè)最大利潤(rùn)；
（3）今年1至5月，每件配件的原材料價(jià)格均比去年12月上漲6元，人力成本比去年增加20%，其它成本沒(méi)有變化，該企業(yè)將每件配件的售價(jià)在去年的基礎(chǔ)上提高a%，與此同時(shí)每月銷售量均在去年12月的基礎(chǔ)上減少8a%．這樣，在保證每月上萬(wàn)件配件銷量的前提下，完成了1至5月的總利潤(rùn)85萬(wàn)元的任務(wù)，請(qǐng)你計(jì)算出a的值．

Answer 1

分析：（1）把表格（1）中任意2點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線解析式可得y₁的解析式．把（10，73）（12，75）代入直線解析式可得y₂的解析式，
（2）分情況探討得：1≤x≤9時(shí)，利潤(rùn)=P₁×（售價(jià)-各種成本）；10≤x≤12時(shí)，利潤(rùn)=P₂×（售價(jià)-各種成本）；并求得相應(yīng)的最大利潤(rùn)即可；
（3）根據(jù)1至5月的總利潤(rùn)85萬(wàn)元得到關(guān)系式求值即可．

解答：解：（1）設(shè)y₁=kx+b，
則

k+b=56 2k+b=58

，
解得

k=2 b=54

，
∴y₁=2x+54（1≤x≤9，且x取整數(shù)）；
設(shè)y₂=ax+b，則

10a+b=73 12a+b=75

，
解得

a=1 b=63

，
∴y₂=x+63（10≤x≤12，且x取整數(shù)）；
故：y₁=54+2x（1≤x≤9，且x取整數(shù)），y₂=63+x（10≤x≤12，且x取整數(shù)）．

（2）設(shè)去年第x月的利潤(rùn)為W萬(wàn)元．
當(dāng)1≤x≤9，且x取整數(shù)時(shí)，
W=P₁（100-5-3-y₁）=（0.1x+1.1）（100-5-3-54-2x）
=-0.2x²+1.6x+41.8
=-0.2（x-4）²+45，
∵1≤x≤9，
∴當(dāng)x=4時(shí)，W_最大=45．
當(dāng)10≤x≤12，且x取整數(shù)時(shí)，
W=P₂（100-5-3-y₂）=（-0.1x+2.9）（100-5-3-63-x），
=0.1（x-29）²．
∵10≤x≤12時(shí)，且x取整數(shù)時(shí)，
當(dāng)x=10時(shí)，W_最大=36.1．
∵45＞36.1，
∴去年4月銷售該配件的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為45萬(wàn)元．

（3）去年12月銷售量為：2.9-0.1×12=1.7（萬(wàn)件）．
今年原材料價(jià)格為：75+6=81（元）．
今年人力成本為：5×（1+20%）=6（元）．
由題意，得5×[100（1+a%）-81-6-3]×1.7（1-8a%）=85．
設(shè)t=a%，整理，得t-40t²=0，
∴t₁=0（舍去）t₂=

1

40

，
∴

1

40

=a%，a=2.5．
答：a的值為2.5．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的應(yīng)用；根據(jù)二次函數(shù)的最值及相應(yīng)的取值范圍得到一定范圍內(nèi)的最大值是解決本題的易錯(cuò)點(diǎn)．