Question

如圖，直線y=

2

3

x+4m（常數(shù)m＞0）交x軸于點A，交y軸于點B，四邊形AOBC 是以O(shè)A、OB為邊的梯形，OA∥BC，將梯形AOBC順時針旋轉(zhuǎn)90°到A′OB′C′，連接B′C交y軸于D．
（1）請寫出A′、B′的坐標(biāo)（用含m的式子表示）；
（2）當(dāng)四邊形A′DB′C′為平行四邊形時，求C點的坐標(biāo)；
（3）若拋物線y=ax²+bx+c在（2）的條件下過A、B、C三點且與線段B′C交于另一點E，連接A′E，求S_△A'DE：S_{四邊形AOBC}的值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）令y=0求出x的值，得到點A的坐標(biāo)，令x=0，求出y的值得到點B的坐標(biāo)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得到點A′、B′的坐標(biāo)；
（2）設(shè)BC=x，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得B′C′=x，再根據(jù)平行四邊形的對邊相等可得A′D=x，然后求出△BCD和△B′OD相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式用x表示出BD，再根據(jù)A′D=A′B+BD，代入數(shù)據(jù)得到關(guān)于x的方程，解方程即可得到點C的坐標(biāo)；
（3）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，分別求出直線B′C與拋物線的解析式，然后聯(lián)立求出點E的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式求出△A′DE的面積，利用梯形的面積公式求出四邊形AOBC的面積，然后相比即可得解．

解答：解：（1）令y=0，則

2

3

x+4m=0，解得x=-6m，
令x=0，則y=4m，
所以，點A（-6m，0），B（0，4m），
∵梯形AOBC逆時針旋轉(zhuǎn)90°到A₁OB₁C₁，
∴OA′=0A=6m，OB′=OB=4m，
∴A′（0，6m），B′（4m，0）；

（2）設(shè)BC=x，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，B′C′=x，
∵四邊形A′DB′C′為平行四邊形，
∴A′D=B′C′=x，
∵OA∥BC，
∴△BCD∽△B′OD，
∴

BC

OB′

=

BD

OD

，
即

x

4m

=

BD

6m-x

，
解得BD=

x(6m-x)

4m

，
又∵A′D=A′B+BD，
∴x=（6m-4m）+

x(6m-x)

4m

，
整理得，x²-2mx-8m²=0，
解得x₁=-2m，x₂=4m，
∵常數(shù)m＞0，
∴x=4m，
即BC=4m，
∴C點坐標(biāo)為（-4m，4m）；

（3）設(shè)直線B′C解析式為y=kx+b，
∵B′（4m，0），C（-4m，4m），
∴

4mk+b=0 -4mk+b=4m

，
解得

k=- 1 2 b=2m

，
∴直線B′C：y=-

1

2

x+2m，
∵A（-6m，0），B（0，4m），C（-4m，4m），
∴

36m2a-6mb+c=0 c=4m 16m2a-4mb+c=4m

，
解得

a=- 1 3m b=- 4 3 c=4m

，
∴拋物線解析式為y=-

1

3m

x²-

4

3

x+4m，
聯(lián)立

y=- 1 2 x+2m y=- 1 3m x2- 4 3 x+4m

，
解得

x1= 3 2 m y1= 5 4 m

，

x2=-4m y2=4m

（為點C坐標(biāo)），
∴點E坐標(biāo)為（

3

2

m，

5

4

m），
∴S_△A′DE=

1

2

×4m•

3

2

m=3m²，S_{四邊形AOBC}=

1

2

（4m+6m）×4m=20m²，
∴S_△A′DE：S_{四邊形AOBC}=（3m²）：（20m²）=

3

20

．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，主要利用了直線與坐標(biāo)軸的交點的求解，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，平行四邊形的對邊相等的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式（直線解析式與拋物線解析式），以及聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點坐標(biāo)，綜合性較強(qiáng)，本題最大特點是計算過程始終含有常數(shù)字母m，使得運算變得較為復(fù)雜且容易出錯，計算時要仔細(xì)認(rèn)真，避免出錯．