Question

小明和幾位同學(xué)做手的影子游戲時(shí)，發(fā)現(xiàn)對(duì)于同一物體，影子的大小與光源到物體的距離有關(guān).因此，他們認(rèn)為：可以借助物體的影子長(zhǎng)度計(jì)算光源到物體的位置.于是，他們做了以下嘗試.
（1）如圖①，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，邊長(zhǎng)AB為30cm，在其正上方有一燈泡，在燈泡的照射下，正方形框架的橫向影子A′B，D′C的長(zhǎng)度和為6cm.那么燈泡離地面的高度為           .
（2）不改變①中燈泡的高度，將兩個(gè)邊長(zhǎng)為30cm的正方形框架按圖②擺放，請(qǐng)計(jì)算此時(shí)橫向影子A′B，D′C的長(zhǎng)度和為多少？
（3）有n個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形按圖③擺放，測(cè)得橫向影子A′B，D′C的長(zhǎng)度和為b,求燈泡離地面的距離.（寫出解題過程，結(jié)果用含a,b,n的代數(shù)式表示）

Answer 1

（1）180cm （2）12 cm   (3)

試題分析：（1）由題意得A′B=D′C，BM=CM=15；正方形框架ABCD，AB⊥BC，DC⊥BC，AB=CD；所以（SAS），；正方形框架的橫向影子A′B，D′C的長(zhǎng)度和為6cm，，在直角三角形，；而在直角三角形中，所以，解得h=180cm
（2）不改變①中燈泡的高度，將兩個(gè)邊長(zhǎng)為30cm的正方形框架按圖②擺放,h=180cm;BM=CM=30cm,AB=CD=30cm;由（1）的證明可得（SAS），，在直角三角形，；而在直角三角形中，所以，解得x=6,所以橫向影子A′B，D′C的長(zhǎng)度和=2x=12cm
（3）記燈泡為點(diǎn)P，
∵AD∥A′D′，∴∠PAD=∠PA′D′，∠PDA=∠P D′A′．
∴△PAD∽△PA′D′．
根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比的性質(zhì)，可得
設(shè)燈泡離地面距離為由題意，得 PM=，PN=AD= ，A′D′= ，
∴
∴
∴
所以x=
點(diǎn)評(píng)：本題考查全等三角形，三角函數(shù)，正方形，掌握三角形全等的判定方法，熟悉三角函數(shù)的定義，掌握正方形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵，本題雖是最后一題，但難度不算大