Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A（0，6），點B是x軸上的一個動點，連接AB，取AB的中點M，將線段MB繞著點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到線段BC．過點B作x軸的垂線交直線AC于點D．設(shè)點B坐標是（t，0）．
（1）當t=4時，求直線AB的解析式；
（2）當t＞0時，用含t的代數(shù)式表示點C的坐標及△ABC的面積；
（3）是否存在點B，使△ABD為等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的點B的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）當t=4時，B（4，0），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b．把A（0，6），B（4，0）
代入得：，解得：，
∴直線AB的解析式為：y=﹣x+6．
（2）過點C作CE⊥x軸于點E，由∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，得△AOB∽△BEC．
∴===，
∴BE=AO=3，CE=OB=，
∴點C的坐標為（t+3，）．
方法一：S_梯形AOEC=OE（AO+EC）=（t+3）（6+）=t²+t+9，
S_△AOB=AO·OB=×6t=3t，
S_△BEC=BE·CE=×3×=t，
∴S_△ABC=S_梯形AOEC﹣S_△AOB﹣S_△BEC=t²+t+9﹣3t﹣t=t²+9．
方法二：∵AB⊥BC，AB=2BC，
∴S_△ABC=AB·BC=BC²．
在Rt△ABC中，BC²=CE²+BE²=t²+9，
即S_△ABC=t²+9．
（3）存在，理由如下：①當t≥0時，I．若AD=BD，
又∵BD∥y軸，
∴∠OAB=∠ABD，∠BAD=∠ABD，
∴∠OAB=∠BAD，

又∵∠AOB=∠ABC，∴△ABO∽△ACB，
∴==，
∴=，
∴t=3，即B（3，0）．
II．若AB=AD．延長AB與CE交于點G，又∵BD∥CG，
∴AG=AC，過點A畫AH⊥CG于H．
∴CH=HG=CG，
由△AOB∽△GEB，得=，
∴GE=．
又∵HE=AO=6，CE=，
∴+6=×（+），
∴t²﹣24t﹣36=0，解得：t=12±6．
因為t≥0，所以t=12+6，即B（12+6，0）．
III．由已知條件可知，當0≤t＜12時，∠ADB為銳角，
故BD≠AB．
當t≥12時，BD≤CE＜BC＜AB．
∴當t≥0時，不存在BD=AB的情況．
②當﹣3≤t＜0時，
如圖，∠DAB是鈍角．設(shè)AD=AB過點C分別作CE⊥x軸，CF⊥y軸于點E，點F．
可求得點C的坐標為（t+3，），
∴CF=OE=t+3，AF=6﹣，
由BD∥y軸，AB=AD得，
∠BAO=∠ABD，∠FAC=∠BDA，∠ABD=∠ADB，
∴∠BAO=∠FAC，
又∵∠AOB=∠AFC=90°，
∴△AOB∽△AFC，
∴=，
∴=，
∴t²﹣24t﹣36=0，
解得：t=12±6．因為﹣3≤t＜0，
所以t=12﹣6，即B（12﹣6，0）．
③當t＜﹣3時，如圖，∠ABD是鈍角．設(shè)AB=BD，
過點C分別作CE⊥x軸，CF⊥y軸于點E，點F，可求得點C的坐標為（t+3，），
∴CF=﹣（t+3），AF=6﹣，
∵AB=BD，
∴∠D=∠BAD．
又∵BD∥y軸，
∴∠D=∠CAF，
∴∠BAC=∠CAF．
又∵∠ABC=∠AFC=90°，AC=AC，
∴△ABC≌△AFC，
∴AF=AB，CF=BC，
∴AF=2CF，即6﹣=﹣2（t+3），
解得：t=﹣8，即B（﹣8，0）．
綜上所述，存在點B使△ABD為等腰三角形，
此時點B坐標為：B₁（3，0），B₂（12+6，0），B₃（12﹣6，0），B₄（﹣8，0）．