Question

如圖所示，任意△ABC，分別以AB、AC為腰，以A為頂角的頂點向△ABC的兩側作等腰△ABM、等腰△ACN，且∠ANC=∠ABM=x，MC與NB的延長線交于O．
（1）如圖一，若x=45°，則∠O=

 

；
（2）如圖二，若x=30°，則∠O=

 

；
（3）如圖三，猜想∠BOC的度數(shù)（用含x的式子表示），并證明你的結論．

Answer 1

考點：等腰三角形的性質,三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質

專題：

分析：根據(jù)等腰三角形的性質求出∠CAN=∠BAM，然后求出∠BAN=∠MAC，然后利用“邊角邊”證明△ABN和△AMC，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠ABN=∠AMC，然后表示出∠BMO和∠NBM，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠NBM=∠O+∠BMO，然后整理即可得到∠O與x的關系式，再把x的值分別代入進行計算即可得解．

解答：解：∵△ABM、△ACN都是等腰三角形，∠ANC=∠ABM，
∴AB=AM，AC=AN，∠CAN=∠BAM，
∴∠CAN-∠BAC=∠BAM-∠BAC，
即∠BAN=∠MAC，
在△ABN和△AMC中，

AB=AM ∠BAN=∠MAC AC=AN

，
∴△ABN≌△AMC（SAS），
∴∠ABN=∠AMC，
∵∠ANC=∠ABM=x，
∴∠BMO=∠AMC-x，∠NBM=∠ABN+x，
在△BOM中，由三角形的外角性質，∠NBM=∠O+∠BMO，
即∠ABN+x=∠O+∠AMC-x，
∴∠O=2x，
（1）x=45°時，∠O=2x=2×45°=90°；

（2）x=30°時，∠O=2x=2×30°=60°；
故答案為：（1）90°；（2）60°；

（3）∠BOC=2x．

點評：本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質，全等三角形的判定與性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質，求出三角形全等，然后表示出∠BMO和∠NBM是解題的關鍵，也是本題的難點．