Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠BAC=α，弦BC=sinα，試探究⊙O的半徑的值．

Answer 1

分析：連接OB、OC，作OD⊥BC，垂足為D．根據(jù)圓周角定理求得∠BOC=2α，所以由三角形函數(shù)的定義求得BD與BC的數(shù)量關(guān)系，然后欲求⊙O的半徑的值，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化到Rt△OBD中進(jìn)行求解即可．

解答：解：連接OB、OC，作OD⊥BC，垂足為D（如圖）（1分）
∵∠BAC=α，
∴∠BOC=2α（同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半）（3分）
∵OD⊥BC，
∴BD=

1

2

BC=

1

2

sinα（5分）
在Rt△OBD中，sin∠BOD=

BD

OB

，∠BOD=

1

2

∠BOC=α．
∴OB=

BD

sin∠BOD

=

1 2 sinα

sinα

=

1

2

，即為所求．（9分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了三角形的外接圓、圓周角定理、垂徑定理以及解直角三角形等知識(shí)，正確地構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．