(2013•莆田質(zhì)檢)新知認(rèn)識(shí):在△ABC中,∠A,∠B,∠C所對(duì)的邊分別用a,b,c表示,如果一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍,我們稱(chēng)這樣的三角形為“倍角三角形”.
(1)特殊驗(yàn)證:如圖1,在△ABC中,若a=
3
,b=1,c=2.求證:△ABC為倍角三角形﹔
(2)模型探究:如圖2,對(duì)于任意的倍角三角形,若∠A=2∠B.求證:a2=b(b+c)﹔
(3)拓展應(yīng)用:在△ABC中,若∠C=2∠A=4∠B.求證:
b
a
+
b
c
=1

分析:(1)利用勾股定理的逆定理求得△ABC為直角三角形,然后根據(jù)“30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”求得三角形的三個(gè)內(nèi)角,所以根據(jù)“倍角三角形”的定義進(jìn)行證明即可;
(2)根據(jù)已知表示各角的度數(shù),再根據(jù)正弦定理對(duì)式子進(jìn)行整理,從而得到結(jié)論;
(3)利用(2)中的結(jié)論進(jìn)行證明.
解答:證明:(1)如圖1,∵a=
3
,b=1,c=2.
∴c2=a2+b2,c=2b
∴∠C=90°,
∴∠B=30°,
∴∠A=2∠B=60°.
∴△ABC為倍角三角形;

(2)∵∠A=2∠B
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-3∠B
由正弦定理得
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=2R,
即a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
∴b(b+c)=2RsinB(2RsinB+2RsinC),
=4R2sinB[sinB+sin(180°-3∠B)]
=4R2sinB(sinB+sin3∠B)
=4R2sinB(2sin2BcosB)
=4R2sin2B×sin2B
=4R2sin22B
又∵a2=4R2sin2A=4R2sin22B
∴a2=b(b+c);

(3)∵在△ABC中,若∠C=2∠A,
∴由(2)中的結(jié)論知c2=a(a+b);
∵2∠A=4∠B,即∠A=2∠B,
∴a2=b(b+c),
b
a
+
b
c
=1
點(diǎn)評(píng):本題考查了勾股定理、解直角三角形及正弦定理的內(nèi)容,綜合考察的知識(shí)點(diǎn)較多,難度較大,解答本題需要同學(xué)們能活學(xué)活用.
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x=-1
x=-1

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(2)若AD=5,AB=3,求sin∠EDF.

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(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若CD=6,AC=8,求AE.

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(2013•莆田質(zhì)檢)如圖,一次函數(shù)y=-
1
3
x+2
的圖象分別與x軸、y軸相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)P為線段AB上一點(diǎn),PC⊥x軸于點(diǎn)C,延長(zhǎng)PC交反比例函數(shù)y=
k
y
(x>0)
的圖象于點(diǎn)Q,且tan∠OAQ=
1
3
.連接OP、OQ,四邊形OQAP的面積為6.
(1)求k的值;
(2)判斷四邊形OQAP的形狀,并加以證明.

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