Question

已知：關(guān)于x的一元二次方程ax²+2ax+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根之差的平方為m．
（1）試分別判斷當(dāng)a=1，c=-3與a=2，c=

2

時(shí)，m≥4是否成立，并說(shuō)明理由；
（2）若對(duì)于任意一個(gè)非零的實(shí)數(shù)a，m≥4總成立，求實(shí)數(shù)c及m的值．

Answer 1

（1）當(dāng)a=1，c=-3時(shí)，m≥4成立；
當(dāng)a=2，c=

2

時(shí)，m≥4不成立；
當(dāng)a=1，c=-3時(shí)，原方程為x²+2x-3=0，則x₁=1，x₂=-3，
∴m=[1-（-3）]²=16＞4，
即m≥4成立．
當(dāng)a=2，c=

2

時(shí)，原方程為2x²+4x+

2

=0．
由△=4²-4×2×

2

＞0，可設(shè)方程的兩個(gè)根分別為x₁，x₂，
則x₁+x₂=-2，x₁•x₂=

2

2

，
∴m=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4-2

2

＜4，
即m≥4不成立．
（2）依題意，設(shè)原方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x₁，x₂，
則x₁+x₂=-2，x₁•x₂=

c

a

，
可得m=（x₁-x₂）²=4-

4c

a

．
∵對(duì)于任意一個(gè)非零的實(shí)數(shù)a都有4-

4c

a

≥4，
∴c=0．
當(dāng)c=0時(shí)，△=4a²＞0，
答：c=0，m=4．