Question

如圖，△ABC中，AC=5，BC=10，BC上的高為4，動(dòng)點(diǎn)M從B點(diǎn)出發(fā)沿線段BC以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從C點(diǎn)出發(fā)沿線段CA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒；
（1）是否存在某一時(shí)刻使得MN垂直平分AC？若存在，請(qǐng)求出t；若不存在，說明理由．
（2）直接寫出t為何值時(shí)，△MNC為等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）首先過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，則AD=4，可求得CD的長(zhǎng)，易得△ADC∽△MNC，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得答案；
（2）分別從①CM=CN，②若CN=MN，③若MN=CM，去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）存在．
過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，則AD=4，
∵AC=5，
∴CD=

AC2-AD2

=3，
∵∠C是公共角，∠ADC=∠MNC，
∴△ADC∽△MNC，
∴CD：CN=AC：MC，
∵BM=2t，CN=t，
∴MC=BC-BM=10-2t，
∴

3

t

=

5

10-2t

，
解得：t=

30

11

，
∴當(dāng)t=

30

11

時(shí)，MN垂直平分AC；

（2）若①CM=CN，則10-2t=t，
解得：t=

10

3

；
②若CN=MN，過點(diǎn)N作NE⊥BC于點(diǎn)E，
則CE=

1

2

CM=

1

2

（10-2t）=5-t，
∵△CEN∽△CDA，
∴

CN

CA

=

CE

CD

，
即

t

5

=

5-t

3

，
解得：t=

25

8

；
③若MN=CM，同理可得：t=

60

17

．
綜上可得：t=

10

3

或

25

8

或

60

17

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與勾股定理．此題難度較大，注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．