(2010•衡陽(yáng))如圖,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D的切線交BC于E.
(1)求證:DE=BC;
(2)若tanC=,DE=2,求AD的長(zhǎng).

【答案】分析:(1)連接BD,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角,得到直角三角形ABD和BCD,根據(jù)切線的判定定理知BC是圓的切線,結(jié)合切線長(zhǎng)定理得到BE=DE,再根據(jù)等邊對(duì)等角以及等角的余角相等證明DE=CE;
(2)在直角三角形ABC中,根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念以及勾股定理計(jì)算它的三邊.再根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.
解答:(1)證明:連接BD,
∵AB是直徑,∠ABC=90°,
∴BC是⊙O的切線,∠BDC=90°.
∵DE是⊙O的切線,
∴DE=BE(切線長(zhǎng)定理).
∴∠EBD=∠EDB.
又∵∠DCE+∠EBD=∠CDE+∠EDB=90°,
∴∠DCE=∠CDE,
∴DE=CE.
故DE=BC.

(2)解:由(1)知,BC=2DE=4.
在Rt△ABC中,AB=BCtanC=4×=2,
AC==6.
∵∠ADB=∠ABC=90°,∠A=∠A,
∴△ABD∽△ACB.
,
=
解得AD=
點(diǎn)評(píng):本題考查了圓及三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí),注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.
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(2010•衡陽(yáng))如圖,已知⊙O的兩條弦AC,BD相交于點(diǎn)E,∠A=70°,∠c=50°,那么sin∠AEB的值為( )

A.
B.
C.
D.

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A.
B.
C.
D.

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A.8
B.9.5
C.10
D.11.5

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