運用“同一圖形的面積不同表示方式相同”可以證明一類含有線段的等式,這種解決問題的方法我們稱之為面積法.
(1)如圖1,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AC邊上的高為h,M是底邊BC上的任意一點,點M到腰AB、AC的距離分別為h1、h2.請用面積法證明:h1+h2=h;
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(2)當點M在BC延長線上時,h1、h2、h之間的等量關(guān)系式是
 
;(直接寫出結(jié)論不必證明)
(3)如圖2在平面直角坐標系中有兩條直線l1:y=
34
x+3、l2:y=-3x+3,若l2上的一點M到l1的距離是1,請運用(1)、(2)的結(jié)論求出點M的坐標.
分析:(1)連接AM,△ABC被分成△ABM和△ACM兩個三角形,根據(jù)三角形的面積公式底乘以高除以2分別求解,再根據(jù)S△ABC=S△ABM+S△AMC整理即可得到h1+h2=h.
(2)根據(jù)(1)的方法,利用三角形面積的關(guān)系求解即可;
(3)先根據(jù)直線關(guān)系式求出A、B、C三點的坐標利用勾股定理求出AB=AC,所以△ABC是等腰三角形,再分點M在線段BC上和CB的延長線上兩種情況討論求解.
解答:解:(1)∵S△ABC=S△ABM+S△AMC,S△ABM=
1
2
×AB×ME=
1
2
×AB×h1,S△AMC=
1
2
×AC×MF=
1
2
×AC×h2,
又∵S△ABC=
1
2
×AC×BD=
1
2
×AC×h,
1
2
×AC×h=
1
2
×AB×h1+
1
2
×AC×h2,
∴h1+h2=h.

(2)h1-h2=h.

(3)在y=
3
4
x+3中,令x=0得y=3;令y=0得x=-4,則:
A(-4,0),B(0,3)同理求得C(1,0),
AB=
OA2+OB2
=5,AC=5,
所以AB=AC,即△ABC為等腰三角形.
①當點M在BC邊上時,由h1+h2=h得:
1+My=OB,My=3-1=2,把它代入y=-3x+3中求得:Mx=
1
3
,
∴M(
1
3
,2);
②當點M在CB延長線上時,由h1-h2=h得:My-1=OB,My=3+1=4,
把它代入y=-3x+3中求得:Mx=-
1
3
,
∴M(-
1
3
,4),
∴點M的坐標為(
1
3
,2)或(-
1
3
,4).
點評:解答本題的關(guān)鍵在于利用等腰三角形兩邊相等的性質(zhì)和三角形面積的關(guān)系,利用面積求解在幾何解答題中經(jīng)常用到,同學(xué)們在答題時一定要靈活運用.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

大家在學(xué)完勾股定理的證明后發(fā)現(xiàn)運用“同一圖形的面積不同表示方式相同”可以證明一類含有線段的等式,這種解決問題的方法我們稱之為面積法.學(xué)有所用:在等腰三角形ABC中,AB=AC,其一腰上的高為h,M是底邊BC上的任意一點,M到腰AB、AC的距離分別為h1、h2
(1)請你結(jié)合圖形來證明:h1+h2=h;
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(2)當點M在BC延長線上時,h1、h2、h之間又有什么樣的結(jié)論.請你畫出圖形,并直接寫出結(jié)論不必證明;
(3)利用以上結(jié)論解答,如圖在平面直角坐標系中有兩條直線l1:y=
3
4
x+3,l2:y=-3x+3,若l2上的一點M到l1的距離是
3
2
.求點M的坐標.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

運用“同一圖形的面積不同表示方式相同”可以證明一類含有線段的等式,這種解決問題的方法我們稱之為面積法.

1.如圖1,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AC邊上的高為,M是底邊BC上的任意一點,點M到腰AB、AC的距離分別為.連接AM,可得結(jié)論+=.當點M在BC延長線上時,、之間的等量關(guān)系式是               .(直接寫出結(jié)論不必證明).

2.應(yīng)用:平面直角坐標系中有兩條直線、,若上的一點M到的距離是1.請運用(1)的條件和結(jié)論求出點M的坐標.

 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

運用“同一圖形的面積不同表示方式相同”可以證明一類含有線段的等式,這種解決問題的方法我們稱之為面積法.
【小題1】如圖1,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AC邊上的高為,M是底邊BC上的任意一點,點M到腰AB、AC的距離分別為、.連接AM,可得結(jié)論+=.當點M在BC延長線上時,、、之間的等量關(guān)系式是               .(直接寫出結(jié)論不必證明).

【小題2】應(yīng)用:平面直角坐標系中有兩條直線、,若上的一點M到的距離是1.請運用(1)的條件和結(jié)論求出點M的坐標.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年江蘇省鹽城市阜寧縣羊寨中學(xué)八年級下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(帶解析) 題型:解答題

運用“同一圖形的面積不同表示方式相同”可以證明一類含有線段的等式,這種解決問題的方法我們稱之為面積法.
(1)如圖,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AC邊上的高為,M是底邊BC上的任意一點,點M到腰AB、AC的距離分別為、.連接AM,可得結(jié)論+=.當點M在BC延長線上時,、、之間的等量關(guān)系式是               .(直接寫出結(jié)論不必證明).

(2)應(yīng)用:平面直角坐標系中有兩條直線,若上的一點M到的距離是1.請運用(1)的條件和結(jié)論求出點M的坐標.

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