20、如果正整數(shù)n有以下性質:n的八分之一是平方數(shù),n的九分之一是立方數(shù),它的二十五分之一是五次方數(shù),那么n就稱為“希望數(shù)”,則最小的希望數(shù)是
215•320•512
分析:設最小的希望數(shù)是n,則n能被8,9,25整除,8,9,25兩兩互質,則n=8a•9b•25c,由n的八分之一是平方數(shù),n的九分之一是立方數(shù),它的二十五分之一是五次方數(shù),得a是奇數(shù),b和c是偶數(shù),b除以3余數(shù)是1,a和c能被3整除,c除以5余數(shù)是1,a和b能被5整除,所以a最小是5,b最小是10,c最小是6.
解答:解:設最小的希望數(shù)是n,則n能被8,9,25整除,8,9,25兩兩互質既然是最小的,就不應該有其它的因數(shù)了,
n=8a•9b•25c因為n的八分之一是平方數(shù),所以a是奇數(shù),b和c是偶數(shù)因為n的九分之一是立方數(shù),
所以b除以3余數(shù)是1,a和c能被3整除因為n的二十五分之一是五次方數(shù),
所以c除以5余數(shù)是1,a和b能被5整除所以a最小是5,b最小是10,c最小是6,
所以最小的希望數(shù)是215•320•512=30233088000000.
故答案為:215•320•512
點評:本題是一道新定義的題目,考查了一個數(shù)的完全平方,以及數(shù)的整除,難度較大.
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(填序號).

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