Question

（11·貴港）（本題滿分12分）．
如圖，已知直線y＝－x＋2與拋物線y＝a (x＋2) ²相交于A、B兩點，點A在y軸上，M為拋物線的頂點．

（1）請直接寫出點A的坐標及該拋物線的解析式；
（2）若P為線段AB上一個動點（A、B兩端點除外），連接PM，設線段PM的長為l，點P的橫坐標為x，請求出l²與x之間的函數(shù)關系，并直接寫出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，線段AB上是否存在點P，使以A、M、P為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）A的坐標是（0，2）………………1分
拋物線的解析式是y＝ (x＋1) ²………………3分
（2）如圖，P為線段AB上任意一點，連接PM，過點P作PD⊥x軸于點D…………4分
設P的坐標是(x，－x＋2)，則在Rt△PDM中，
PM²＝DM²＋PD²
即l²＝(－2－x)²＋(－x＋2)²＝x²＋2x＋8………………6分
自變量x的取值范圍是：－5＜x＜0………………7分
（3）存在滿足條件的點P………………8分
連接AM，由題意得，AM＝＝＝2………………9分
①當PM＝PA時，x²＋2x＋8＝x²＋(－x＋2－2)²
解得：x＝－4  此時 y＝－×(－4)＋2＝4
∴點P₁(－4，4) ………………10分
②當PM＝AM時，x²＋2x＋8＝(2)²
解得：x₁＝－    x₂＝0（舍去）  此時 y＝－×(－)＋2＝
∴點P₂(－，) ………………11分
③當PA＝AM時，x²＋(－x＋2－2)²＝(2)²
解得：x₁＝－    x₂＝（舍去）  
此時 y＝－×(－)＋2＝
∴點P₃(－，) ………………12分
綜上所述，滿足條件的點為P₁(－4，4)、P₂(－，)、P₃(－，)

解析