Question

如圖，等腰三角形與正三角形的形狀有差異，我們把等腰三角形與正三角形的接近程度稱為“正度”．在研究“正度”時(shí)，應(yīng)保證相似三角形的“正度”相等．

設(shè)等腰三角形的底和腰分別為a，b，底角和頂角分別為α，β．要求“正度”的值是非負(fù)數(shù)．
同學(xué)甲認(rèn)為：可用式子|a-b|來(lái)表示“正度”，|a-b|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形；
同學(xué)乙認(rèn)為：可用式子|α-β|來(lái)表示“正度”，|α-β|的值越小，表示等腰三角形越接近正三角形．
探究：（1）他們的方案哪個(gè)較合理，為什么？
（2）對(duì)你認(rèn)為不夠合理的方案，請(qǐng)加以改進(jìn)（給出式子即可）；
（3）請(qǐng)?jiān)俳o出一種衡量“正度”的表達(dá)式．

Answer 1

解：（1）同學(xué)乙的方案較為合理．因?yàn)閨α-β|的值越小，α與β越接近60°，因而該等腰三角形越接近于正三角形，且能保證相似三角形的“正度”相等．
同學(xué)甲的方案不合理，不能保證相似三角形的“正度”相等．如：邊長(zhǎng)為4，4，2和邊長(zhǎng)為8，8，4的兩個(gè)等腰三角形相似，但|2-4|=2≠|(zhì)4-8|=4．

（2）對(duì)同學(xué)甲的方案可改為用，等（k為正數(shù)）來(lái)表示“正度”．

（3）還可用|α-60°|，|β-60°|，|α+β-120°|，等來(lái)表示“正度”．
分析：將甲乙兩同學(xué)的推測(cè)進(jìn)行推理，若代入特殊值不成立，則推理不成立．
點(diǎn)評(píng)：此題是以到開(kāi)放性問(wèn)題，體現(xiàn)了探索發(fā)現(xiàn)的過(guò)程：發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，作出假設(shè)，進(jìn)行驗(yàn)證，加以證明．