Question

菱形ABCD的內(nèi)切圓O與各邊分別切于E、F、G、H，在EF與GH上分別作⊙O的切線交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q．求證：MQ∥NP．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：要證MQ∥NP，因AB∥DC，故可以考慮證明∠AMQ=∠CPN．現(xiàn)∠BAD=∠BCD，故可證△AMQ∽△CPN．于是要證明AM：AQ=CP：CN，進(jìn)而得出答案．

解答：證明：連接MO，NO，BD，AC，
設(shè)∠ABC=2α，∠BNM=2β，∠BMN=2γ．則
由ON平分∠ONM，得∠ONC=∠ONM=

1

2

（180°-2β）=90°-β；
同理，∠OMN=∠OMA=90°-γ．
而∠CON=180°-∠OCN-∠ONC=β+α=90°-γ，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠OCN=∠MAO
∴△CON∽△AMO，
∴AM：AO=CO：CN，即AM•CN=AO²．
同理，AQ•CP=AO²，
∴AM•CN=AQ•CP，
∴

AM

CP

=

AQ

CN

，
∵∠BAD=∠BCD，
∴△AMQ∽△CPN，
∴∠AMQ=∠CPN，
又∵∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠ACD，
∴∠ASM=∠NTM，
∴∠ASM=∠ATN，
∴MQ∥NP．

點評：本題考查了菱形的內(nèi)切圓和三角形的相似以及平行線的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出△AMQ∽△CPN是解題關(guān)鍵．