已知:關于x的一元二次方程-x2+(m+4)x-4m=0,其中0<m<4.
(1)求此方程的兩個實數(shù)根(用含m的代數(shù)式表示);
(2)設拋物線y=-x2+(m+4)x-4m與x軸交于A、B兩點(A在B的左側),若點D的坐標為(0,-2),且AD•BD=10,求拋物線的解析式;
(3)已知點E(a,y1)、F(2a,y2)、G(3a,y3)都在(2)中的拋物線上,是否存在含有y1、y2、y3,且與a無關的等式?如果存在,試寫出一個,并加以證明;如果不存在,說明理由.
分析:(1)在△≥0的前提下,用求根公式進行計算即可.
(2)根據(jù)(1)的結果可得出A、B的坐標,然后求出AD、BD的長,代入AD•DB=10中,即可求得m的值,也就得出了拋物線的解析式.
(2)分別將E、F、G的坐標代入拋物線的解析式中,可得出含a的y1、y2、y3的表達式,進而判斷出y1、y2、y3的等量關系.
解答:解:(1)將原方程整理,得x2-(m+4)x+4m=0,
△=b2-4ac=[-(m+4)]2-4(4m)=m2-8m+16=(m-4)2>0
x=
(m+4)±(m-4)
2

∴x=m或x=4;(2分)

(2)由(1)知,拋物線y=-x2+bx+c與x軸的交點分別為(m,0)、(4,0),
∵A在B的左側,0<m<4,
∴A(m,0),B(4,0).
則AD2=OA2+OD2=m2+22=m2+4,BD2=OB2+OD2=42+22=20;
∵AD•BD=10,
∴AD2•BD2=100;
∴20(m2+4)=100;(3分)
解得m=±1;(4分)
∵0<m<4,
∴m=1
∴b=m+1=5,c=-4m=-4;
∴拋物線的解析式為y=-x2+5x-4;(5分)

(3)答:存在含有y1、y2、y3,且與a無關的等式,
如:y3=-3(y1-y2)-4(答案不唯一);(6分)
證明:由題意可得y1=-a2+5a-4,y2=-4a2+10a-4,y3=-9a2+15a-4;
∵左邊=y3=-9a2+15a-4;
右邊=-3(y1-y2)-4=-3[(-a2+5a-4)-(-4a2+10a-4)]-4
=-9a2+15a-4;
∴左邊=右邊;
∴y3=-3(y1-y2)-4成立.(7分)
點評:此題主要考查了一元二次方程的解法、二次函數(shù)與坐標軸交點的求法、二次函數(shù)解析式的確定等知識.
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已知:關于x的一元二次方程mx2-(2m+n)x+m+n=0①.
(1)求證:方程①有兩個實數(shù)根;
(2)求證:方程①有一個實數(shù)根為1;
(3)設方程①的另一個根為x1,若m+n=2,m為正整數(shù)且方程①有兩個不相等的整數(shù)根時,確定關于x的二次函數(shù)y=mx2-(2m+n)x+m+n的解析式;
(4)在(3)的條件下,把Rt△ABC放在坐標系內,其中∠CAB=90°,點A、B的坐標分別為(1,0)、(4,0),BC=5,將△ABC沿x軸向右平移,當點C落在拋物線上時,求△ABC平移的距離.

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5、已知:關于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一個根為x=2,且二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=2,則拋物線的頂點坐標為(  )

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已知:關于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2=0有兩個整數(shù)根,m<5且m為整數(shù).
(1)求m的值;
(2)當此方程有兩個非零的整數(shù)根時,將關于x的二次函數(shù)y=x2-2(m+1)x+m2的圖象沿x軸向左平移4個單位長度,求平移后的二次函數(shù)圖象的解析式;
(3)當直線y=x+b與(2)中的兩條拋物線有且只有三個交點時,求b的值.

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已知:關于x的一元二次方程x2-2x+c=0的一個實數(shù)根為3.
(1)求c的值;
(2)二次函數(shù)y=x2-2x+c,當-2<x≤2時,y的取值范圍;
(3)二次函數(shù)y=x2-2x+c與x軸交于點A、B(A左B右),頂點為點C,問:是否存在這樣的點P,以P為位似中心,將△ABC放大為原來的2倍后得到△DEF(即△EDF∽△ABC,相似比為2),使得點D、E恰好在二次函數(shù)上且DE∥AB?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•延慶縣二模)已知:關于x的一元二次方程mx2-(2m+2)x+m-1=0
(1)若此方程有實根,求m的取值范圍;
(2)在(1)的條件下,且m取最小的整數(shù),求此時方程的兩個根;
(3)在(2)的前提下,二次函數(shù)y=mx2-(2m+2)x+m-1與x軸有兩個交點,連接這兩點間的線段,并以這條線段為直徑在x軸的上方作半圓P,設直線l的解析式為y=x+b,若直線l與半圓P只有兩個交點時,求出b的取值范圍.

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