Question

（2012•紅橋區(qū)二模）已知一拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)O（0，0），B（1，1）兩點(diǎn)，且解析式的二次項(xiàng)系數(shù)為-

1

a

（a＞0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求該拋物線(xiàn)的解析式，并用配方法求出該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）已知點(diǎn)A（0，1），若拋物線(xiàn)與射線(xiàn)AB相交于點(diǎn)M，與x軸相交于點(diǎn)N（異于原點(diǎn)），當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，ON+BM的值為常數(shù)？當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，ON-BM的值為常數(shù)？
（Ⅲ）若點(diǎn)P（t，t）在拋物線(xiàn)上，則稱(chēng)點(diǎn)P為拋物線(xiàn)的不動(dòng)點(diǎn)．將這條拋物線(xiàn)進(jìn)行平移，使其只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，此時(shí)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)是否在直線(xiàn)y=x-

a

4

上，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先利用拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)O（0，0），B（1，1）兩點(diǎn)，且解析式的二次項(xiàng)系數(shù)為-

1

a

求出拋物線(xiàn)解析式，再利用a=1求出拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（Ⅱ）利用當(dāng)y=0時(shí)，有-

1

a

x2+(1+

1

a

)x=0，求出x的值，進(jìn)而得出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再利用若點(diǎn)M在點(diǎn)B右側(cè)，此時(shí)a＞1，BM=a-1；若點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)，此時(shí)0＜a＜1，BM=1-a得出答案即可；
（Ⅲ）利用平移后的拋物線(xiàn)只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，故此方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，得出判別式△=（a-2h）²-4（h²-ak）=0，進(jìn)而求出k與h，a的關(guān)系即可得出頂點(diǎn)（h，k）在直線(xiàn)y=x-

a

4

上．

解答：解：設(shè)該拋物線(xiàn)的解析式為y=-

1

a

x2+bx+c，
∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)（0，0）、（1，1）兩點(diǎn)，
∴

c=0 - 1 a +b+c=1

，
解得

b=1+ 1 a c=0

．
∴該拋物線(xiàn)的解析式為y=-

1

a

x2+(1+

1

a

)x
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，該拋物線(xiàn)的解析式為y=-x²+2x，
y=-x²+2x=-（x²-2x+1）+1=-（x-1）²+1．
該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）；

（Ⅱ）∵點(diǎn)N在x軸上，∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為0．
當(dāng)y=0時(shí)，有-

1

a

x2+(1+

1

a

)x=0，
解得x₁=0，x₂=a+1．
∵點(diǎn)N異于原點(diǎn)，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（a+1，0）．
∴ON=a+1，
∵點(diǎn)M在射線(xiàn)AB上，∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1．
當(dāng)y=1時(shí)，有-

1

a

x2+(1+

1

a

)x=1，
整理得出

1

a

x2-(1+

1

a

)x+1=0，
解得x₁=1，x₂=a．
點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，1）或（a，1）．
當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，1）時(shí)，M與B重合，
此時(shí)a=1，BM=0，ON=2．ON+BM與ON-BM的值都是常數(shù)2．
當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，1）時(shí)，
若點(diǎn)M在點(diǎn)B右側(cè)，此時(shí)a＞1，BM=a-1．
∴ON+BM=（a+1）+（a-1）=2a，ON-BM=（a+1）-（a-1）=2．
若點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)，此時(shí)0＜a＜1，BM=1-a．
∴ON+BM=（a+1）+（1-a）=2，ON-BM=（a+1）-（1-a）=2a．
∴當(dāng)0＜a≤1時(shí)，ON+BM的值是常數(shù)2，
當(dāng)a≥1時(shí)，ON-BM的值是常數(shù)2．

（Ⅲ）設(shè)平移后的拋物線(xiàn)的解析式為y=-

1

a

(x-h)2+k，
由不動(dòng)點(diǎn)的定義，得方程：t=-

1

a

(t-h)2+k，
即t²+（a-2h）t+h²-ak=0．
∵平移后的拋物線(xiàn)只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，∴此方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
∴判別式△=（a-2h）²-4（h²-ak）=0，
有a-4h+4k=0，即k=h-

a

4

．
∴頂點(diǎn)（h，k）在直線(xiàn)y=x-

a

4

上．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及根的判別式的性質(zhì)等知識(shí)，利用分類(lèi)討論的思想得出M與B的不同位置關(guān)系得出答案是解題關(guān)鍵．