Question

已知，在△ABC中，∠BAC=90º， AB=AC，點D為直線BC上一動點（點D不與B、C重合）.以AD為邊作正方形ADEF．連接CF.

（1）如圖1，當點D在線段BC上時，求證：①CF＝BD；②CF⊥BD；
（2）如圖2，當點D在線段BC的延長線上時，其它條件不變，線段CF與BD的上述關系是否還成立？請直接寫出結論即可（不必證明）；
（3）如圖3，當點D在線段BC的反向延長線上，且點A、F在直線BC的兩側，其它條件不變，線段CF與BD的上述關系是否還成立？若成立，請證明你的結論；若不成立，請說明理由.

Answer 1

（1）由∠BAC=90º， AB=AC可得∠ABC＝∠ACB＝45º，根據正方形的性質可得AD＝AF，∠DAF＝90º，根據同角的余角相等可得∠BAD＝∠CAF，即可證得BAD≌CAF，從而可以證得結論；（2）（3）成立

試題分析：（1）由∠BAC=90º， AB=AC可得∠ABC＝∠ACB＝45º，根據正方形的性質可得AD＝AF，∠DAF＝90º，根據同角的余角相等可得∠BAD＝∠CAF，即可證得BAD≌CAF，從而可以證得結論；
（2）證法同（1）；
（3）同（1）可證BAD≌CAF，CF＝BD，∠ACF＝∠ABD＝135º，再結合∠ACB＝45º即可得到結果.
（1）∵∠BAC=90º， AB=AC
∴∠ABC＝∠ACB＝45º
∵四邊形ADEF是正方形  
∴AD＝AF，∠DAF＝90º
∵∠BAD＋∠DAC＝∠CAF＋∠DAC＝90 º
∴∠BAD＝∠CAF，    
∴BAD≌CAF，
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD＝45º
∴∠BCF＝90º，即 CF⊥BD；
（2）當點D在線段BC的延長線上，線段CF與BD的上述關系仍然成立；
（3）當點D在線段BC的反向延長線上，且點A、F在直線BC的兩側時，線段CF與BD的上述關系仍然成立
∵同理可證BAD≌CAF，CF＝BD，∠ACF＝∠ABD＝135º
又∵∠ACB＝45º，
∴∠BCF＝∠ACF－∠ACB＝135º－45º＝90º，
∴CF⊥BD.
點評：此類問題難度較大，在中考中比較常見，一般在壓軸題中出現，需特別注意.