Question

【題目】如圖在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，M是BC的中點，P為AB上的一個動點（不可以與A，B重合），并作∠MPD=90°，PD交BC（或BC的延長線）于點D

（1）記BP的長為x，△BPM的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍。

（2）是否存在這樣的點P，使得△MPD與△ABC相似？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由

Answer 1

【答案】(1) y=x(0＜x＜10 且x≠5);(2) 存在符合條件的P點，且x=2 .5或3.2

【解析】試題分析：（1）△BMP中，BM的長易求得，關(guān)鍵是求BM邊上的高；過P作PH⊥BC于H，易證得△BPH∽△BAC，通過相似三角形得出的成比例線段可求出PH的長，進(jìn)而可求出y、x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）所求的兩個三角形中，已知∠MPD=∠ACB=90°，若使兩三角形相似要分兩種情況進(jìn)行討論；

一、D在BC上，

①∠PMB=∠B，此時PM=BM，MH=BH=2，可根據(jù)相似三角形得出的成比例線段求出x的值；②∠PMB=∠A，此時△BPM∽△BCA，同①可求得x的值；

二、D在BC延長線上時；

由于∠PMD＞∠B，因此只有一種情況：∠PMD=∠BAC；當(dāng)P、A重合時，易證得∠MAC=∠PDM，由于tan∠MAC=＜tan∠B，所有∠MAC＜∠B，即當(dāng)D在BC延長線上時，∠PDM總小于∠B，所有△PDM和△ABC不會相似；

綜合兩種情況，可得出符合條件的x的值．

試題解析：（1）過P作PH⊥BC于H，則PH∥AC；

Rt△ABC中，AC=6，BC=8；則AB=10．

∵P為AB上動點可與A、B重合（與A重合BP為0，與B重合BP為10）

但是x不能等于5．

∵當(dāng)x=5時，P為AB中點，PM∥AC，得到PD∥BC，PD與BC無交點，與題目已知矛盾，所以x的取值范圍是，0≤x≤或5＜x≤10，

易知△BPH∽△BAC，得：，PH=x；

∴y=×4×x=x（0≤x≤或5＜x≤10）；

（2）當(dāng)D在BC上時，

①∠PMB=∠B時，BP=PM，MH=BH=2；

PB=x，AB=10，MH=2，BC=8，

此時△PBH∽△BCA，

∴，得：，解得x＝；

②∠PMB=∠A時，△DPM∽△BCA，得：，即DPBA=DMBC；

∴10x=4×8，解得x=；

當(dāng)D在BC延長線上時，

由于∠PMD＞∠B，所以只討論∠PDM=∠B的情況；

當(dāng)P、A重合時，Rt△MPD中，AC⊥MD，則∠MAC=∠PDM，

∵tan∠MAC=，tanB=，tan∠MAC＜tanB，

∴∠MAC＜∠B，即∠PDM＜∠B；

由于當(dāng)P、A重合時，∠PDM最大，故當(dāng)D在BC延長線上時，∠B＞∠PDM；

所以△PDM和△ACB不可能相似；

綜上所述，存在符合條件的P點，且x=2.5或3.2．