Question

已知一次函數(shù)y=mx+2m+8與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，若圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（2，4）．
（1）求一次函數(shù)的解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)C作x軸的平行線(xiàn)，交y軸于點(diǎn)D，在△OAB邊上找一點(diǎn)E，使得△DCE構(gòu)成等腰三角形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)F是線(xiàn)段OB（不與點(diǎn)O、點(diǎn)B重合）上一動(dòng)點(diǎn)，在線(xiàn)段OF的右側(cè)作正方形OFGH，連接AG、BG，設(shè)線(xiàn)段OF=t，△AGB的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將C坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中求出m的值，即可確定出一次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形，根據(jù)圖形找出所有滿(mǎn)足題意E的坐標(biāo)即可；
（3）分兩種情況考慮：①當(dāng)0＜t＜3時(shí)，如圖1所示；由四邊形OFGH是正方形，利用正方形的邊長(zhǎng)相等得到OF=OH=FG=GH=t，進(jìn)而確定得到AH=BF=OB-OF=6-t，由S_△ABG=S_△AOB-S_△FBG-S_△AHG-S_正方形，即可列出關(guān)系式；②當(dāng)3＜t＜6時(shí)，如圖2所示，同理由S_△ABG=S_△FBG+S_△AHG+S_正方形-S_△AOB列出關(guān)系式．

解答：
解：（1）把點(diǎn)C（2，4）代入一次函數(shù)y=mx+2m+8得：2m+2m+8=4，
解得m=-1，
則一次函數(shù)解析式為y=-x+6；

（2）點(diǎn)E在OB上時(shí)，E₁（0，2），E₂（0，6）；
作出CD的垂直平分線(xiàn)，交直線(xiàn)AB于E₄，交x軸于E₃，如圖3所示，
可得出點(diǎn)E在OA上時(shí)，E₃（1，0）；
點(diǎn)E在AB上時(shí)，E₄（1，5）；
過(guò)E₅作E₅M⊥CD，△E₅MC為等腰直角三角形，
∵E₅C=CD=2，
∴E₅M=MC=

2

2

E₅C=

2

，
∴E₅（2-

2

，4+

2

）
同理E₆（2+

2

，4-

2

）；

（3）分兩種情況考慮：
①當(dāng)0＜t＜3時(shí)，如圖1所示；
∵四邊形OFGH是正方形，
∴OF=OH=FG=GH=t，AH=BF=OB-OF=6-t，
則S_△ABG=S_△AOB-S_△FBG-S_△AHG-S_正方形=18-

1

2

t（6-t）-

1

2

t（6-t）-t²=18-6t；
②當(dāng)3＜t＜6時(shí)，如圖2所示，同理得到S_△ABG=S_△FBG+S_△AHG+S_正方形-S_△AOB=6t-18．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合及分類(lèi)討論的思想，畫(huà)出相應(yīng)的圖形是本題的突破點(diǎn)．