Question

如圖等腰梯形花圃ABCD的底邊AD靠墻，另三邊用長為40m的鐵欄圍成，設AB的長為xm，該花圃的面積為Sm²
（1）求出底邊BC的長．（用含x的代數式表示）
（2）若∠BAD=60°，求S與x之間的函數關系式；
（3）在（2）的條件下，若墻長為24m，試求S的最大值．

Answer 1

分析：（1）已知AB=CD=x，則易求BC的值．
（2）第二小題需要輔助線的幫助，作BE、CF分別垂直AD，易求出各邊以及梯形高的值．利用梯形面積公式可求出S與x的關系．
（3）求出該函數的對稱軸后畫圖可知x=16時，函數有最大值．

解答：解：（1）∵AB=CD=x米，
∴BC=40-AB-CD=（40-2x）米．

（2）如圖，
過點B、C分別作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，
在Rt△ABE中，AB=x，∠BAE=60°
∴AE=

1

2

x，BE=

3

2

x，
同理DF=

1

2

x，CF=

3

2

x
又EF=BC=40-2x
∴AD=AE+EF+DF=

1

2

x+40-2x+

1

2

x=40-x
∴S=

1

2

（40-2x+40-x）•

3

2

x=

3

4

x（80-3x）（0＜x＜20），
當S=93

3

時，-

3

4

3

x2+20

3

x=93

3

，
解得：x₁=6，x₂=20

2

3

（舍去）．
∴x=6

（3）由題意，得40-x≤24，
解得x≥16，
結合（2）得16≤x＜20．
由（2），S=-

3

4

3

x2+20

3

x=-

3

4

3

(x-

40

3

)2+

400

3

3

∵a=-

3 3

4

＜0
∴函數圖象為開口向下的拋物線的一段（附函數圖象草圖如左）．
其對稱軸為x=

40

3

，
∵16＞

40

3

，由左圖可知，
當16≤x＜20時，S隨x的增大而減小，
∴當x=16時，S取得最大值，
此時S最大值=

3 3

4

×16²+20

3

×16=128

3

m²．

點評：本題考查了二次函數的性質的運用，等腰梯形的性質的運用．求二次函數的最大（�。┲涤腥�種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法．本題主要考查二次函數的運用，運算較復雜，難度偏難．