Question

（2011•重慶）如圖，矩形ABCD中，AB=6，BC=2，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AB的延長線上，且BP=3．一動(dòng)點(diǎn)E從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿OA勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)A點(diǎn)后，立即以原速度沿AO返回；另一動(dòng)點(diǎn)F從P點(diǎn)發(fā)發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿射線PA勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E、F同時(shí)出發(fā)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)E、F的運(yùn)動(dòng)過程中，以EF為邊作等邊△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射線PA的同側(cè)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t≥0）．
（1）當(dāng)?shù)冗叀鱁FG的邊FG恰好經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；
（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)等邊△EFG和矩形ABCD重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量t的取值范圍；
（3）設(shè)EG與矩形ABCD的對角線AC的交點(diǎn)為H，是否存在這樣的t，使△AOH是等腰三角形？若存大，求出對應(yīng)的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）當(dāng)邊FG恰好經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，∠CFB=60°，BF=3﹣t，在Rt△CBF中，BC=2，tan∠CFB=，即tan60=，解得BF=2，即3﹣t=2，t=1，∴當(dāng)邊FG恰好經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，t
（2）當(dāng)0≤t＜1時(shí)，S=2t+4；
當(dāng)1≤t＜3時(shí)，S=﹣t²+3t+；
當(dāng)3≤t＜4時(shí)，S=﹣4t+20；
當(dāng)4≤t＜6時(shí)，S=t²﹣12t+36；
（3）存在．
理由如下：在Rt△ABC中，tan∠CAB==，
∴∠CAB=30°，又∵∠HEO=60°，∴∠HAE=∠AHE=30°，
∴AE=HE=3﹣t或t﹣3，
1）當(dāng)AH=AO=3時(shí)，（如圖②），過點(diǎn)E作EM⊥AH于M，則AM=AH=，
在Rt△AME中，cos∠MAE═，即cos30°=，
∴AE=，即3﹣t=或t﹣3=，
∴t=3﹣或t=3+，

2）當(dāng)HA=HO時(shí)，（如圖③）則∠HOA=∠HAO=30°，
又∵∠HEO=60°，∴∠EHO=90°，EO=2HE=2AE，
又∵AE+EO=3，∴AE+2AE=3，AE=1，
即3﹣t=1或t﹣3=1，∴t=2或t=4；

3）當(dāng)OH=OA時(shí)，（如圖④），則∠OHA=∠OAH=30°，
∴∠HOB=60°=∠HEB，∴點(diǎn)E和點(diǎn)O重合，
∴AE=3，即3﹣t=3或t﹣3=3，t=6（舍去）或t=0；

綜上所述，存在5個(gè)這樣的t值，使△AOH是等腰三角形，即t=3﹣或t=3+或t=2或t=2或t=0．

略