已知⊙O過點(diǎn)D(3,4),點(diǎn)H與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱,過H作⊙O的切線交x軸于點(diǎn)A.
(1)求直線HA的函數(shù)解析式;
(2)求sin∠HAO的值;
(3)如圖,設(shè)⊙O與x軸正半軸交點(diǎn)為P,點(diǎn)E、F是線段OP上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)P不重合),連接并延長DE、DF交⊙O于點(diǎn)B、C,直線BC交x軸于點(diǎn)G,若△DEF是以EF為底的等腰三角形,試探索sin∠CGO的大小怎樣變化,請(qǐng)說明理由.

【答案】分析:(1)連OH,作HK⊥x軸于k,根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的坐標(biāo)特點(diǎn)得到H點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-4),再根據(jù)切線的性質(zhì)由AH為⊙O的切線,得到OH⊥AH,利用等角的余角相等得到∠OAH=∠KHO,根據(jù)三角形相似的判定得RtAKH∽R(shí)t△HKO,則AK:HK=HK:OK,即AK:4=4:3,求出AK=,易得A點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),然后利用待定系數(shù)法求直線AH的解析式;
(2)在Rt△OKH中,利用勾股定理計(jì)算出OH=5,然后在Rt△OAH中,利用正弦的定義即可得到sin∠HAO的值;
(3)過點(diǎn)D作DM⊥EF于M,并延長DM交⊙O于N,連接ON,交BC于T,根據(jù)垂徑定理得到OM垂直平分DN,即D點(diǎn)與N點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱,則N點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-4),ON=5;由DM⊥EF根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得DN平分∠BDC,即∠CDN=∠BDN,根據(jù)圓周角定理的推論得到弧BN=弧CN,然后利用垂徑定理的推論可得OT⊥BC,利用等角的余角相等得到∠TGO=∠MNO,在Rt△OMN,OM=3,MN=4,利用正弦的定義即可得到sin∠MNO==,則sin∠CGO=,即sin∠CGO的大小不變.
解答:解:(1)如圖,連OH,作HK⊥x軸于k,
∵點(diǎn)D(3,4),點(diǎn)H與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱,
∴H點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-4),
∵AH為⊙O的切線,
∴OH⊥AH,
∴∠AOH+∠OAH=90°,∠KOH+∠KHO=90°,
∴∠OAH=∠KHO,
∴Rt△AKH∽R(shí)t△HKO,
∴AK:HK=HK:OK,即AK:4=4:3,
∴AK=,
∴OA=OK+AK=3+=
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),
設(shè)直線HA的函數(shù)解析式為y=kx+b,
把H(3,-4),A(,0)代入得,
解得,
∴直線HA的函數(shù)解析式為y=x-;

(2)在Rt△OKH中,OH==5,
在Rt△OAH中,sin∠HAO===;

(3)sin∠CGO的大小不變.理由如下:
過點(diǎn)D作DM⊥EF于M,并延長DM交⊙O于N,連接ON,交BC于T,如圖,
則OM垂直平分DN,即D點(diǎn)與N點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱,
則N點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-4),ON=5,
又∵△DEF為等腰三角形,DM⊥EF,
∴DN平分∠BDC,即∠CDN=∠BDN,
∴弧BN=弧CN,
∴OT⊥BC,
∴∠TGO+∠GOT=90°,
而∠MNO+∠MON=90°,
∴∠TGO=∠MNO,
在Rt△OMN,OM=3,MN=4,
∴sin∠MNO==,
∴sin∠CGO=
即當(dāng)E、F兩點(diǎn)在OP上運(yùn)動(dòng)時(shí)(與點(diǎn)P不重合),sin∠CGO的值不變.
點(diǎn)評(píng):本題考查了圓的綜合題:圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑;垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的��;平分弦所對(duì)的弧的直徑垂直平分弦;在同圓或等圓中,相等的圓周角所對(duì)的弧相等;運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn);運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行幾何計(jì)算.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求拋物線的解析式;
(2)求證:點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于頂點(diǎn)D對(duì)稱;
(3)在y軸上是否存在這樣的點(diǎn)P,使△AFP與△FDC相似?若有,請(qǐng)求出所有合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若沒有,請(qǐng)說明理由.

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(1)求sin∠HAO的值;
(2)如圖,設(shè)⊙O與x軸正半軸交點(diǎn)為P,點(diǎn)E、F是線段OP上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)P不重合),連接并延長DE、DF交⊙O于點(diǎn)B、C,直線BC交x軸于點(diǎn)G,若△DEF是以EF為底的等腰三角形,試探索sin∠CGO的大小怎樣變化,請(qǐng)說明理由.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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