Question

已知：在△ABC中，BC＞AC，動(dòng)點(diǎn)D繞△ABC的頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且AD=BC，連接DC．過AB、DC的中點(diǎn)E、F作直線，直線EF與直線AD、BC分別相交于點(diǎn)M、N．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)N恰好與點(diǎn)F重合，取AC的中點(diǎn)H，連接HE、HF，根據(jù)三角形中位線定理和平行線的性質(zhì)，可得結(jié)論∠AMF=∠BNE（不需證明）；
（2）當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到圖2或圖3中的位置時(shí)，∠AMF與∠BNE有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)分別寫出猜想，并任選一種情況證明．

Answer 1

解：圖1：∠AMF=∠ENB；
圖2：∠AMF=∠ENB；
圖3：∠AMF+∠ENB=180°．

證明：如圖2，取AC的中點(diǎn)H，連接HE、HF．
∵F是DC的中點(diǎn)，H是AC的中點(diǎn)，
∴HF∥AD，HF=AD，
∴∠AMF=∠HFE，
同理，HE∥CB，HE=CB，
∴∠ENB=∠HEF．
∵AD=BC，
∴HF=HE，
∴∠HEF=∠HFE，
∴∠ENB=∠AMF．

如圖3：取AC的中點(diǎn)H，連接HE、HF．
∵F是DC的中點(diǎn)，H是AC的中點(diǎn)，
∴HF∥AD，HF=AD，
∴∠AMF+∠HFE=180°，
同理，HE∥CB，HE=CB，
∴∠ENB=∠HEF．
∵AD=BC，
∴HF=HE，
∴∠HEF=∠HFE，
∴∠AMF+∠ENB=180°．
分析：兩題思路基本相同，都需要作出兩條輔助線，兩次運(yùn)用中位線定理解答．
點(diǎn)評(píng)：此題構(gòu)思巧妙，融合了中位線定理，平行線的性質(zhì)等概念，難點(diǎn)是需要作出兩條輔助線．