Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10，點E在下底邊BC上，點F在腰AB上．
（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周長，設(shè)BE長為x，試用含x的代數(shù)式表示BF及△BEF
的面積（提示：作AK⊥BC于K，作FG⊥BC于G）；
（2）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時平分？若存在，求出此時BE的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）作AK⊥BC于K，F(xiàn)G⊥BC于G，根據(jù)△FBG∽△ABK對應(yīng)邊成比例即可求解；
（2）根據(jù)四邊形的面積即可求出x的值．
解答：解：（1）梯形的周長為4+2×5+10=24，
由題意：BF+EB=12，即BF+x=12，
∴BF=12-x，作AK⊥BC于K，F(xiàn)G⊥BC于G，
則BK=3，AK=4，
又∵△FBG∽△ABK，
∴=，即=，
∴FG=（12-x），
∴△BEF的面積=BE•FG=（-x²+12x）；

（2）又∵S_{四邊形ABCD}=（10+4）×4=28，則（-x²+12x）=14，
解得：x=5或x=7，
∵BF=12-x≤5，
∴x≥7，
∴x=7，
即存在線段EF將等腰梯形的周長和面積同時平分．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，難度適中，關(guān)鍵是巧妙地作出輔助線．