Question

如圖，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）與反比例函數(shù)交于點A（1，2），與x軸交于點M，與y軸交于點N．
（1）當(dāng)點M的坐標(biāo)為（3，0）時，求此一次函數(shù)解析式及其與的另一個交點B的坐標(biāo)；
（2）在（1）的條件下，過A作AC⊥x軸于點D，連接OB交AC于E，試寫出圖中與△AOE面積相等的圖形，并說明理由；
（3）當(dāng)點M在x軸上運動時，是否能使OA²=AM•AN？若存在，試直接寫出所有適合的點M的坐標(biāo)（不必寫出解答過程）；若并不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）解：把M，A代入一次函數(shù)解析式得，
∴k=-1，b=3，
∴y=-x+3，由題意得，
∴x=2，y=1或x=1，y=2，
∵A（1，2），
∴另一個交點B的坐標(biāo)為（2，1）；

（2）解：∵k=2，
∴S_△AOC=A_△BOD==1，
∴都減去S_△COE，
∴梯形BECD的面積與△AOE面積相等，
由三角形中位線知E為OB中點，
∴△ABE的面積與△AOE面積相等，
∴與△AOE面積相等的圖形有△ABE、梯形BECD；

（3）解：
①若△OAM∽△NAO，此時，MN⊥OA，從而M（5，0），如最左圖所示，
②若△AON∽△AMO，可求出OM=3，從而M（-3，0），如左2圖．這樣求出本題兩解．
若只這樣考慮，殊不知，在考慮滿足OA²=AM•AN時忽視了一類特殊情形，OA=AM=AN．
③若直線過原點，此時M、N與O重合，此時M（0，0）；
④若直線不與OA重合，此時△MNO為直角三角形，A為斜邊MN的中點，OM=2，M（2，0）．

分析：（1）把M，A代入一次函數(shù)解析式，即可求得解析式，讓一次函數(shù)解析式和反比例函數(shù)解析式組成方程組可求得另一交點坐標(biāo)；
（2）看是否有等底等高的三角形，以及由面積相同的三角形減去同一三角形得到的四邊形；
（3）由于OA²=AM•AN，那么這些線段所在的三角形應(yīng)相似，或者相等以及不確定的直線過原點等多種情況．
點評：這是一道集一次函數(shù)、反比例函數(shù)、直角三角形、運動、面積等問題為一體的綜合題，除考查學(xué)生上述的基礎(chǔ)知識外，還考查學(xué)生的綜合運用能力，需要通過構(gòu)建模型，通過觀察、分析、猜想、探索，再進(jìn)一步計算驗證，才能最終解決問題．該題體現(xiàn)了新課程的理念，有效的考查了學(xué)生的思維能力、創(chuàng)新能力、自主學(xué)習(xí)的潛能．