Question

如圖，拋物線的對(duì)稱軸是直線x=1，它與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是（-1，0）、（0，3）
（1）求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）若點(diǎn)P是拋物線上位于x軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△ABP面積的最大值；
（3）若過點(diǎn)A（-1，0）的直線AD與拋物線的對(duì)稱軸和x軸圍成的三角形的面積為6，求此直線的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對(duì)稱軸設(shè)出拋物線的解析式，由A、C的坐標(biāo)根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出解析式．
（2）設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，由（1）求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，求出AB的長度，由三角形的面積公式表示出△ABP的面積．
（3）由對(duì)稱軸設(shè)出點(diǎn)D（1，b）坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積建立等量關(guān)系就可以求出D的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線的對(duì)稱軸是直線x=1，設(shè)拋物線的解析式是y=a（x-1）²+k，
∴

0=4a+k 3=a+k

解得：

a=-1 k=4

，
∴y=-（x-1）²+4即y=-x²+2x+3

（2）∵y=-x²+2x+3，當(dāng)y=0時(shí)，
∴x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴B（3，0），A（-1，0）
∴AB=4．
設(shè)P（a，-a²+2a+3）
∴S_△ABP=

4(-a2+2a+3)

2

=-2（a-1）²+8，
∴△ABP面積的最大值為8

（3）設(shè)D的坐標(biāo)為（1，b），
∴

2×|b|

2

=6，
∴b=±6，
∴D（1，6）或（1，-6），設(shè)AD的解析式為y=kx+b，得

0=-k+b 6=k+b

或

0=-k+b -6=k+b

解得：

k=3 b=3

或

k=-3 b=-3

∴直線AD的解析式為：y=3x+3或y=-3x-3．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的解析式，三角形的面積公式的運(yùn)用．