Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中有一梯形ABCO，頂點(diǎn)C在x正半軸上，A、B兩點(diǎn)在第一象限；且AB∥CO，AO=BC=2，AB=3，OC=5．點(diǎn)P在x軸上，從點(diǎn)（-2，0）出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸向正方向運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作直線l，使直線l和x軸向正方向夾角為30°．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了t秒，直線l掃過(guò)梯形ABCO的面積為S_掃．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)t=2秒時(shí)，求S_掃的值；
（3）求S_掃與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出直線l掃過(guò)梯形ABCO面積的時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）兩底的差的一半就是A的橫坐標(biāo)；過(guò)A、B作x軸的垂線，在構(gòu)建的直角三角形中根據(jù)OA的長(zhǎng)及兩底的差便可求出梯形的高即A點(diǎn)的縱坐標(biāo)．得出A點(diǎn)坐標(biāo)后向右平移3個(gè)單位就是B點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)t=2時(shí)，P、O兩點(diǎn)重合，如果設(shè)直線l與AB的交點(diǎn)為D，那么AD=2，而AD邊上的高就是A點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由此可求出△ADO的面積及直線l掃過(guò)的面積．
（3）本題要分三種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)P在原點(diǎn)左側(cè)，即當(dāng)0≤t＜2時(shí)，重合部分是個(gè)三角形，如果設(shè)直線l與AO，AB分別交于E，F(xiàn)，可根據(jù)△AEF∽△AOD，用相似比求出其面積．即可得出S，t的函數(shù)關(guān)系式．
②當(dāng)P在O點(diǎn)右側(cè)（包括和O重合），而F點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)，即當(dāng)2≤t＜3時(shí)，掃過(guò)部分是個(gè)梯形，可根據(jù)梯形的面積計(jì)算方法即可得出直線l掃過(guò)部分的面積．也就能得出S，t的函數(shù)關(guān)系式．
③當(dāng)P點(diǎn)在C點(diǎn)左側(cè)（包括和C點(diǎn)重合），F(xiàn)點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)（包括和B點(diǎn)重合），即當(dāng)3≤t≤7時(shí)，掃過(guò)部分是個(gè)五邊形，可用梯形ABCO的面積減去△MPC的面積來(lái)得出S，t的函數(shù)關(guān)系式．
解答：解：（1）（1，），（4，）．

（2）．

（3）當(dāng)0≤t＜2時(shí)，△AEF∽△AOD，，
∴S_掃=t²；
當(dāng)2≤t＜3時(shí)，S_掃=S_△AOD+S_□DOPF=（t-2）
∴S_掃=t-；
當(dāng)3≤t≤7時(shí)，
S_掃=4-S_△CPM=4-2×
∴S_掃=-t²+t-，
∵-t²+t-=×4，
∴t²-14t+41=0，
t₁=7-2，t₂=7+2＞7（舍）
∴P的坐標(biāo)為（5-2，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)．主要考查了學(xué)生分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．