Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜90°），得到△A₁B₁C₁，連接BB₁．設(shè)CB₁交AB于點(diǎn)D，A₁B₁分別交AB、AC于點(diǎn)E、F．
（1）在圖中不再添加其他任何線段的情況下，請(qǐng)你找出圖中的所有全等三角形，并對(duì)不包括△ABC和△A₁B₁C₁的一對(duì)全等三角形加以證明；
（2）當(dāng)α=60°時(shí)，求BD的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)△BB₁D是等腰三角形時(shí)，求角α的度數(shù)．

Answer 1

解：（1）全等的三角形有：△CBD≌△CA₁F或△AEF≌△B₁ED或△ACD≌△B₁CF等；
以證△CBD≌△CA₁F為例：
證明：∵∠ACB₁+∠A₁CF=∠ACB₁+∠BCD=90°
∴∠A₁CF=∠BCD
∵A₁C=BC
∴∠A₁=∠CBD=45°
∴△CBD≌△CA₁F；

（2）作DG⊥BC于G，設(shè)CG=x．
在Rt△CDG中，∠DCG=α=60°，∴DG=xtan60°=x
Rt△DGB中，∠DBG=45°，∴BG=GD=x
∵AC=BC=1，∴x+x=1
x=，∴DB=BG=．

（3）在△CBB₁中
∵CB=CB₁
∴∠CBB1=∠CB1B=（180°-α）
又△ABC是等腰直角三角形
∴∠ABC=45°
①若B₁B=B₁D，則∠B₁DB=∠B₁BD
∵∠B₁DB=45°+α
∠B1BD=∠CBB1-45°=（180°-α）-45°=45°-
∴45°+α=45°-，
∴α=0°（舍去）；
②∵∠BB₁C=∠B₁BC＞∠B₁BD，∴BD＞B₁D，即BD≠B₁D；
③若BB₁=BD，則∠BDB₁=∠BB₁D，即45°+α=（180°-α），
解得α=30°，
由①②③可知，當(dāng)△BB₁D為等腰三角形時(shí)，α=30°．
分析：（1）依據(jù)全等三角形的判定，可找出全等的三角形有：△CBD≌△CA₁F或△AEF≌△B₁ED或△ACD≌△B₁CF等．由旋轉(zhuǎn)的意義可證∠A₁CF=∠BCD，A₁C=BC，∠A₁=∠CBD=45°，所以△CBD≌△CA₁F．
（2）作DG⊥BC于G，在直角三角形CDG和直角三角形DGB中，由三角函數(shù)即可求得BD的長(zhǎng)．
（3）當(dāng)△BBD是等腰三角形時(shí)，要分別討論B₁B=B₁D、BB₁=BD、B₁D=DB三種情況，第一，三種情況不成立，只有第二種情況成立，求得α=30°．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解決此類問題的關(guān)鍵是正確的利用旋轉(zhuǎn)不變量．