Question

已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，以O 為原點，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，點B在第一象限內，將Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內的點C處．
（1）求點C的坐標和過O、C、A三點的拋物線的解析式；
（2）P是此拋物線的對稱軸上一動點，當以P、O、C為頂點的三角形是等腰三角形時，請直接寫出點P的坐標；
（3）M（x，y）是此拋物線上一個動點，當△MOB的面積等于△OAB面積時，求M的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△OAB中，已知∠BOA的度數(shù)和AB的長，可求出OA的值，即可得到點A的坐標；由于△OBC由△OAB折疊所得，那么∠BOA=∠BOC、且OA=OC，過C作x軸的垂線，在構建的直角三角形中，通過解直角三角形可得到點C的坐標；最后利用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式．
（2）以P、O、C為頂點的等腰三角形并沒有確定腰和底，所以要分情況討論：①CP=OP、②OC=CP、③OC=OP；
首先設出點P的坐標，在用表達式表示出△OPC三邊長后，按上面所列情況列方程求解即可．
（3）在直線OB兩邊，到OB的距離等于的直線有兩條，直線和拋物線的交點就是M點，求出即可．
解答：解：（1）由已知條件，可知OC=OA==2，∠COA=60°，
C點的坐標為（，3），
設過O、A、C三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
則，解得，
所求拋物線的解析式為y=-x²+2x．

（2）由題意，設P（，y），則：
OP²=y²+3、CP²=（y-3）²=y²-6y+9、OC²=12；
①當OP=CP時，6y=6，即 y=1；
②當OP=OC時，y²=9，即 y=±3（y=3舍去）；
③當CP=OC時，y²-6y-3=0，即 y=3±2；
∴P點的坐標是（，1）或（，-3）或（，3-2）或（，3+2）；

（3）
過A作AR⊥OB于R，過O作ON⊥MN于N，MN與y軸交于點D．
∵∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，
∴OA=2，OB=4，
由三角形面積公式得：4×AR=2×2，
AR=，
∵△MOB的面積等于△OAB面積，
∴在直線OB兩邊，到OB的距離等于的直線有兩條，直線和拋物線的交點就是M點，
∠NOD=∠BOA=30°，ON=，
則OD=2，
求出直線OB的解析式是y=x，
則這兩條直線的解析式是y=x+2，y=x-2，
解，，
解得：，，，
此時，M₁（，3）、M₂（，）．M₃（2，0）．M₄（-，-）．
點評：該題主要考查：利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、解直角三角形、等腰三角形的判定和性質以及三角形面積的解法等基礎知識；類似（2）題的等腰三角形判定題，通常都要根據(jù)不同的腰和底進行分類討論，以免漏解．