Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，兩條對(duì)角線AC⊥BD，AE⊥BC．
（1）求證：AE=

1

2

（AD+BC）；
（2）若AC=10cm，求等腰梯形ABCD的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰梯形的性質(zhì),等腰直角三角形,平行四邊形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）首先過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，易證得△BDF是等腰直角三角形，即可得AE=DH，BF=BC+AD，且DH=

1

2

BF，則可證得AE=

1

2

（AD+BC）；
（2）由（1），可求得AE的長(zhǎng)，AD+BC的長(zhǎng)，繼而求得等腰梯形ABCD的面積．

解答：（1）證明：過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，
∵AD∥BC，
∴四邊形ACFD是平行四邊形，
∴CF=AD，DF=AC，
∵AC⊥BD，AE⊥BC，
∴DH=AE，DF⊥BD，
∵AB=CD，
∴AC=BD，
∴BD=DF，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴BH=FH，
∴DH=

1

2

BF=

1

2

（BC+CF）=

1

2

（AD+BC），
∴AE=

1

2

（AD+BC）；

（2）解：∵AC=10cm，
∴BD=DF=10cm，
在Rt△BDF中，BF=

BD2+DF2

=10

2

（cm），
∴AD+BC=BF=10

2

cm，
∴AE=

1

2

BF=5

2

（cm），
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）•AE=

1

2

×10

2

×5

2

=50（cm²）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．