Question

（2012•崇左）如圖，已知∠XOY=90°，等邊三角形PAB的頂點P與O點重合，頂點A是射線OX上的一個定點，另一個頂點B在∠XOY的內(nèi)部．
（1）當(dāng)頂點P在射線OY上移動到點P₁時，連接AP₁，請用尺規(guī)作圖；在∠XOY內(nèi)部作出以AP₁為邊的等邊△AP₁B₁（要求保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）；
（2）設(shè)AP₁交OB于點C，AB的延長線交B₁P₁于點D．求證：△ABC∽△AP₁D；
（3）連接BB₁，求證：∠ABB₁=90°．

Answer 1

分析：（1）分別以A、P₁為圓心，AP₁長為半徑畫弧，兩弧交于B₁點，△AP₁B₁即為所求；
（2）欲證△ABC∽△AP₁D，必須有兩組角相等，∠BAC=∠P₁AD為一個公共角，又因為△PAB和△P₁AB₁都是正三角形，所以有∠ABC=∠AP₁D=60°所以△ABC∽△AP₁D；
（3）有（1）（2）可知AO=AB，AP₁=AB₁，∠PAB=∠P₁AB₁=60°，所以有∠OAP₁=∠BAB₁=60°-∠CAB，因此根據(jù)邊角邊公式可證△OAP₁≌△BAB₁，因此可得∠ABB₁=∠AOP₁=90°

解答：（1）解：等邊三角形作圖所如下；
（2）∵△PAB、△P₁AB₁是等邊三角形，
∴∠ABC=∠AP₁D=60°，
又∵∠BAC=∠P₁AD，
∴△ABC∽△AP₁D．
（3）證明：
∵△PAB、△P₁AB₁是等邊三角形，
∴∠BAP=∠P₁AB₁=60°，AB=AP，AB₁=AP₁．
∴∠BA B₁=∠P₁AP．
∴△BA B₁≌△P₁AP（SAS）．
∴∠AB B₁=∠P₁ PA=90°．

點評：此題主要考查了相似的判定以及等邊三角形的一些基本性質(zhì)．