Question

6．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（n，0）（n＞0），拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)P，已知正方形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)為A（2，2），B（3，2），D（2，3）．
（1）若當(dāng)n=4時(shí)求c，b并寫出拋物線對(duì)稱軸及y的最大值；
（2）求證：拋物線的頂點(diǎn)在函數(shù)y=x²的圖象上；
（3）若拋物線與直線AD交于點(diǎn)N，求n為何值時(shí)，△NPO的面積為1；
（4）若拋物線經(jīng)過正方形區(qū)域ABCD（含邊界），請(qǐng)直接寫出n的取值范圍．
（參考公式：y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-$\frac{2a}$，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$）．

Answer 1

分析 （1）把原點(diǎn)和P點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式可求得b、c，則可求得拋物線解析式，化為頂點(diǎn)式可求得其對(duì)稱軸和最大值；
（2）用n可表示出拋物線的解析式，則可求得其頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入y=x²進(jìn)行驗(yàn)證即可；
（3）可用n表示出N點(diǎn)坐標(biāo)，則可表示出N到x軸的距離和OP的長，可表示出△NPO的面積，可得到關(guān)于n的方程，可求得n的值；
（4）分別把A、B、C、D的坐標(biāo)代入拋物線解析式可求得n的值，則可求得n的取值范圍．

解答 解：
（1）當(dāng)n=4時(shí)，則P（4，0），
∵拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)P，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{-16+4b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴拋物線對(duì)稱軸為直線x=2，
∵-1＜0，
∴當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值4；
（2）把O、P的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{-{n}^{2}+bn=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=n}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-x²+nx=-（x-$\frac{n}{2}$）²+$\frac{{n}^{2}}{4}$，
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{n}{2}$，$\frac{{n}^{2}}{4}$），
在y=x²中，當(dāng)x=$\frac{n}{2}$時(shí)，y=$\frac{{n}^{2}}{4}$，
∴拋物線的頂點(diǎn)在函數(shù)y=x²的圖象上；
（3）在y=-x²+nx中，當(dāng)x=2時(shí)，y=2n-4，
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2n-4），
∴N到x軸的距離為|2n-4|=2|n-2|，
∵P（n，0），
∴OP=n，
∴S_△NPO=$\frac{1}{2}$n×2|n-2|=n|n-2|，
當(dāng)△NPO的面積為1時(shí)，則有n|n-2|=1，
當(dāng)n=2時(shí)，N、P重合，不成立，
當(dāng)n＞2時(shí)，則n²-2n=1，解得n=1+$\sqrt{2}$或n=1-$\sqrt{2}$（此時(shí)n小于2，舍去），
當(dāng)0＜n＜2時(shí)，則2n-n²=1，解得n₁=n₂=1，
綜上可知當(dāng)n的值為1+$\sqrt{2}$或1時(shí)，△NPO的面積為1；
（4）∵拋物線解析式為y=-x²+nx，
∴當(dāng)過A（2，2）時(shí)，代入可得2=-4+2n，解得n=3，
同理當(dāng)拋物線過B時(shí)可求得n=$\frac{11}{3}$，當(dāng)拋物線過點(diǎn)C時(shí)可求得n=4，當(dāng)拋物線過點(diǎn)D時(shí)可求得n=$\frac{7}{2}$，
∴n的取值范圍為3≤n≤4．

點(diǎn)評(píng) 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及分類討論思想等知識(shí)．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用步驟，在（2）中用n表示出頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（3）中用N點(diǎn)坐標(biāo)表示出△NPO的面積是解題的關(guān)鍵，在（4）中分別求得過每個(gè)點(diǎn)時(shí)的n的值是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．