Question

1）如圖1，已知△ABC，以AB，AC為邊向△ABC外做等邊△ABD和等邊△ACE．連接BE，CD．請你完成圖形，并證明：BE=CD；（尺規(guī)作圖，不寫做法，保留作圖痕跡）

（2）如圖2，已知△ABC，以AB，AC為邊向外做正方形ABFD和正方形ACGE．連接BE，CD．BE與CD有什么數(shù)量關(guān)系？簡單說明理由．

（3）運用（1）、（2）解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：

如圖3，要測量池塘兩岸相對的兩點B，E的距離，已經(jīng)測得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝10米，AC＝AE．求BE的長．

 

Answer 1

（1）尺規(guī)做圖見解析；證明過程見解析；

（2）相等；證明過程見解析；（3）10．

【解析】（1）完成圖形，如圖所示：

∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°。

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB。

∵在△CAD和△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS）�！郆E=CD。

（2）BE=CD，理由同（1）：

∵四邊形ABFD和ACGE均為正方形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°。∴∠CAD=∠EAB�！咴凇鰿AD和△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS）。∴BE=CD；。

（3）由（1）、（2）的解題經(jīng)驗可知，過A作等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°，

則AD=AB=10米，∠ABD=45°，∴BD=20米．

連接CD，則由（2）可得BE=CD。

∵∠ABC=45°，∴∠DBC=90°。在Rt△DBC中，BC=10米，BD=20米，

根據(jù)勾股定理得：CD=（米）,∴BE=CD=10米。