Question

（2011•慶陽）如圖，拋物線C₁：y=x²+2x-3的頂點為M，與x軸相交于A、B兩點，與y軸交于點D；拋物線C₂與拋物線C₁關于y軸對稱，頂點為N，與x軸相交于E、F兩點．
（1）拋物線C₂的函數(shù)關系式是

y=x²-2x-3

；
（2）點A、D、N是否在同一條直線上？說明你的理由；
（3）點P是C₁上的動點，點P′是C₂上的動點，若以OD為一邊、PP′為其對邊的四邊形ODP′P（或ODPP′）是平行四邊形，試求所有滿足條件的點P的坐標；
（4）在C₁上是否存在點Q，使△AFQ是以AF為斜邊且有一個角為30°的直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）拋物線C₁、C₂關于y軸對稱，那么它們的開口方向、開口大小都相同（即二次項系數(shù)相同），頂點關于y軸對稱（即M、N關于y軸對稱）；首先將拋物線C₁寫成頂點式，再根據(jù)上述條件得出拋物線C₂的解析式．
（2）點A、D的坐標可由拋物線C₁的解析式得出，利用待定系數(shù)法能求得直線AD的解析式，然后將點N的坐標代入直線AD的解析式中進行驗證即可．
（3）已經(jīng)給出了OD為平行四邊形的邊，那么OD、PP′必平行且相等，因此PP′必平行于y軸（即橫坐標相同），且PP′=OD=3（即P、P′縱坐標的絕對值為3），據(jù)此確定點P的坐標．
（4）通過觀察圖形不難判斷出：
①當點Q在x軸下方時，∠AFQ=30°，那么首先通過解直角三角形求出點Q的坐標，再代入拋物線C₁的解析式中進行驗證即可；
②當點Q在x軸上方時，∠FAQ=30°，解法同①．

解答：解：（1）∵拋物線C₁、C₂關于y軸對稱，且C₁：y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
∴M（-1，-3）、N（1，-3），C₂：y=（x-1）²-4=x²-2x-3．

（2）三點在同一直線上，理由：
由C₁：y=x²+2x-3，得：A（-3，0）、D（0，-3）；
設直線AD的解析式：y=kx+b，則有：

-3k+b=0 b=-3

，
解得

k=-1 b=-3

故直線AD：y=-x-3；
當x=1時，y=-1-3=-4，即點N在直線AD上；
所以，A、D、N三點共線．

（3）∵四邊形ODP′P（或ODPP′）是平行四邊形，且OD、PP′為邊，
∴OD

∥

.

PP′；
設P（x，x²+2x-3），則P′（x，x²-2x-3），由PP′=OD=3，得：
|（x²+2x-3）-（x²-2x-3）|=3，
解得：x=±

3

4

；
故點P的坐標為（

3

4

，-

15

16

）或（-

3

4

，-

63

16

）．

（4）滿足條件的點Q不存在，理由如下：
①當點Q在x軸下方時，∠AFQ=30°，如右圖；
在Rt△AFQ中，AF=6，∠AFQ=30°，QG⊥AF，有：
AQ=

1

2

AF=3，AG=

AQ2

AF

=

32

6

=

3

2

，QG=AG•tan60°=

3 3

2

；
則Q（-

3

2

，-

3 3

2

）；
將Q（-

3

2

，-

3 3

2

）代入拋物線C₁：y=x²+2x-3中，等式不成立；
②當點Q在x軸上方時，∠FAQ=30°；
同①可求得，Q（

3

2

，

3 3

2

），代入拋物線C₁：y=x²+2x-3中，等式不成立；
綜上，不存在符合條件的點Q使得△AFQ是以AF為斜邊且有一個角為30°的直角三角形．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、軸對稱圖形的性質(zhì)、平行四邊形與直角三角形的性質(zhì)等綜合知識；難度較大的是后面兩題，（3）題中，OD為平行四邊形的邊是解題的一個關鍵條件，而平行四邊形的對邊平行且相等是解題的主要理論依據(jù)；最后一題中，點Q的位置共有兩種情況，這是容易漏解的地方．