Question

如圖：已知∠BAD=∠DAC=9°，AD⊥AE，且AB+AC=BE．則∠B=

 

．

Answer 1

考點：等腰三角形的判定與性質

專題：探究型

分析：延長BA到F，使AF=AC，由AB+AC=BE，等量代換可得出AB+AF=BE，而BA+AF=BF，可得出BF=BE，即三角形BEF為等腰三角形，用頂角∠B，利用三角形的內角和定理表示出底角∠F，再由AD與AE垂直，得到∠DAE為直角，又∠BAD=∠DAC=9°，根據(jù)平角的定義求出∠FAE=81°，同時由∠DAC=9°，由直角∠DAE-∠DAC求出∠CAE也為81°，可得出∠CAE=∠FAE，再由AF=AC，AE為公共邊，利用SAS可得出三角形AFE與三角形ACE全等，根據(jù)全等三角形的對應角相等可得出∠F=∠ACE，由∠ACE為三角形ABC的外角，根據(jù)外角的性質得到∠ACE=∠B+∠BAC，由∠BAC的度數(shù)，表示出∠ACE，即為∠F，根據(jù)表示出的∠F相等列出關于∠B的方程，求出方程的解即可得到∠B的度數(shù)．

解答：解：延長BA到F，使AF=AC，連接EF，如圖所示：

∵AB+AC=BE，
∴AB+AF=BE，即BF=BE，
∴∠F=∠BEF=

180°-∠B

2

，
∵∠BAD=∠DAC=9°，AD⊥AE，即∠DAE=90°，
∴∠FAE=180°-（∠BAD+∠DAE）=180°-（9°+90°）=81°，
∠CAE=∠DAE-∠DAC=90°-9°=81°，
∴∠FAE=∠CAE，
在△AFE和△ACE中，
∵

AF=AC ∠FAE=∠CAE AE=AE

，
∴△AFE≌△ACE（SAS），
∴∠F=∠ACE，
又∵∠ACE為△ABC的外角，
∴∠ACE=∠B+∠BAC=∠B+18°，
∴∠F=∠B+18°，
∴∠B+18°=

180°-∠B

2

，
則∠B=48°．
故答案為：48°

點評：此題考查了等腰三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，三角形的外角性質，以及三角形的內角和定理，利用了轉化及等量代換的思想，其中根據(jù)題意作出如圖所示的輔助線是解本題的關鍵．