Question

如圖，已知AM∥BN，AC平分∠MAB，BC平分∠NBA。

（1）過點C作直線DE，分別交AM、BN于點D、E，則AB、AD、BE三條線的長度之間存在何種等量關(guān)系？請直接寫出關(guān)系式 。

（2）如圖，若將直線DE繞點C轉(zhuǎn)動，使DE與AM交于點D，與NB的延長線交于點E，則AB、AD、BE三條線的長度之間存在何種等量關(guān)系？請你給出結(jié)論并加以證明。

Answer 1

（1）AD+BE=AB；（2）AD=BE+AB．理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）如圖1，延長AC交BE于Q，構(gòu)建等腰△ABQ，則AB=BQ，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出AC=CQ，然后由平行線分線段成比例推知AD=EQ，即可得出答案．

（2）如圖2，延長AC交BE于Q，證法同（1），結(jié)論是AD=BE+AB．

試題解析：（1）證明：如圖1，延長AC交BE于Q，

∵AC平分∠MAB，

∴∠1=∠2，

∵AM∥BN，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴AB=BQ，

∵BC平分∠ABQ，

∴AC=CQ．

∵AM∥BN，

∴，

∴AD=EQ，

∴AD+BE=AB；

（2）AD=BE+AB．理由如下：

如圖2，延長AC交BE于Q，

∵AC平分∠MAB，

∴∠1=∠2，

∵AM∥BN，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴AB=BQ，

∵BC平分∠ABQ，

∴AC=CQ．

∵AM∥BN，

∴，

∴AD=EQ，

∴EQ=BE+BQ=BE+AB，即

∴AD=BE+AB．

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)．