Question

兩塊大小不同的含45°角的三角板AOB和三角板COD，直角頂點重合，三角板的兩直角邊重合（如圖1）
（1）連結AC、BD，則AC和BD的①數量關系是AC

 

BD；②位置關系是AC

 

BD（直接寫出結果，不必證明）；
（2）將三角板COD繞點O順時針旋轉角度α（0°＜α＜360°），如圖2，（1）中的結論是否成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，請說明理由；
（3）如圖3，在（2）中，若M、N、P、Q分別是線段CB、AB、AD、CD的中點，請判斷四邊形MNPQ的形狀，并給出證明．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,三角形中位線定理,正方形的判定

專題：

分析：（1）AC=BD，AC⊥BD．通過全等三角形△AOC≌△BOD的對應邊相等證得AC=BD；如圖1，延長AC交BD于點E，則∠AOB=∠AEB=90°；
（2）證法同（1）；
（3）由三角形中位線定理和平行四邊形的判定定理易證四邊形MNPQ為平行四邊形；然后利用AC=BD，AC⊥BD得到MN=MQ，且MN⊥MQ，故平行四邊形MNPQ是正方形．

解答：AC解：（1）①AC=BD．理由如下：
如圖1，
在△AOC與△BOD中，

AO=BO ∠AOC=∠BOD=90° OC=OD

，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD；
②AC⊥BD．理由如下：
如圖1，延長AC交BD于點E．
由①知，△AOC≌△BOD，
∴∠CAO=DBO．
又∵∠CAO+∠ACO=90°，∠BCE=∠ACO，
∴∠DBO+∠BCE=90°，
∴∠AEB=90°，即AC⊥BD；
故填：=；⊥；

（2）（1）中的結論都仍然成立．理由如下：
如圖2，∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，即∠AOC=∠BOD，
在△AOC與△BOD中，

AO=BO ∠AOC=∠BOD OC=OD

，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD；
如圖2，延長AC交BD于點E．
由①知，△AOC≌△BOD，
∴∠CAO=DBO．
又∵∠CAO+∠ACO=90°，∠BCE=∠ACO，
∴∠DBO+∠BCE=90°，
∴∠AEB=90°，即AC⊥BD．
綜上所述，AC=BD，AC⊥BD；

（3）四邊形MNPQ是正方形．證明如下：
∵如圖3，M、N、P、Q分別是線段CB、AB、AD、CD的中點，
∴MN

∥

.

1

2

AC，PQ

∥

.

AC，
∴MN

∥

.

PQ，
∴四邊形MNPQ為平行四邊形，
同理，MQ

∥

.

BD．
又∵AC=BD，AC⊥BD，
∴MN=MQ，且MN⊥MQ，
∴平行四邊形MNPQ為正方形，即四邊形MNPQ是正方形．

點評：本題綜合考查了三角形中位線定理、全等三角形的判定與性質以及正方形的判定．正方形的判定方法：
①先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等；
②先判定四邊形是菱形，再判定這個矩形有一個角為直角．
③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進行判定．