Question

22、已知：關于x的方程x²+（8-4m）x+4m²=0．
（1）若方程有兩個相等的實數根，求m的值，并求出這時方程的根．
（2）問：是否存在正數m，使方程的兩個實數根的平方和等于136？若存在，請求出滿足條件的m值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據一元二次方程的根的判別式△=0，建立關于m的等式，由此求出m的取值．再化簡方程，進而求出方程相等的兩根；
（2）利用根與系數的關系，化簡x₁²+x₂²=136，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=136．根據根與系數的關系即可得到關于m的方程，解得m的值，再判斷m是否符合滿足方程根的判別式．

解答：解：（1）若方程有兩個相等的實數根，
則有△=b²-4ac=（8-4m）²-16m²=64-64m=0，
解得m=1，
當m=1時，原方程為x²+4x+4=0，
∴x₁=x₂=-2；
（2）不存在．
假設存在，則有x₁²+x₂²=136．
∵x₁+x₂=4m-8，
x₁x₂=4m²，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=136．
即（4m-8）²-2×4m²=136，
∴m²-8m-9=0，
（m-9）（m+1）=0，
∴m₁=9，m₂=-1．
∵△=（8-4m）²-16m²=64-64m≥0，
∴0＜m≤1，
∴m₁=9，m₂=-1都不符合題意，
∴不存在正數m，使方程的兩個實數根的平方和等于136．

點評：總結：1、一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0?方程沒有實數根．
2、根與系數的關系為：x₁+x₂=$-frac{a}$x₁x₂=$frac{c}{a}$．