Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+2x+c經(jīng)過A（﹣1，0），B兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C（0，3），拋物線與直線y＝﹣x﹣1交于A，E兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得△AQE是以AE為底邊的等腰三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

（3）P點(diǎn)在x軸上且位于點(diǎn)B的左側(cè)，若以P，B，C為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）存在；Q1（4，0），Q2（0，﹣4）；（3）（，0）或（﹣，0）．

【解析】

（1）將A、C的坐標(biāo)代入y＝ax2+2x+c求出a、c即可得到解析式；

（2）聯(lián)立方程組求出E點(diǎn)坐標(biāo)，分Q在x軸和y軸上兩種情況討論，分別根據(jù)QA2＝QE2求出坐標(biāo)即可；

（3）過點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，根據(jù)點(diǎn)E的坐標(biāo)，分別求出AH＝EH＝5，AE＝5，∠BAE＝45°，以及OB＝OC＝3，∠ABC＝45°，AB＝4，BC=3，所以只可能存在△PBC∽△BAE和△PBC∽△EAB兩種情況，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：（1）將A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c，

得，

解得，，

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x+3，

故答案為：y＝﹣x2+2x+3．

（2）存在．

聯(lián)立，

解得，或，

∴E（4，﹣5），

如圖1，當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上時(shí)，設(shè)Q（m，0），

∵AE為底邊，

∴QA＝QE，

∴QA2＝QE2，

即（m+1）2＝52+（m﹣4）2，

解得，m＝4，

∴Q1（4，0）；

當(dāng)點(diǎn)Q在y軸上時(shí)，設(shè)Q（0，n），

∵AE為底邊，

∴QA＝QE，

∴QA2＝QE2，

即n2+12＝42+（n+5）2，

解得，n＝﹣4，

∴Q2（0，﹣4），

綜上所述，Q1（4，0），Q2（0，﹣4），

故答案為：存在；Q1（4，0），Q2（0，﹣4）

（3）如圖2，過點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，

∵A（﹣1，0），E（4，﹣5），

∴AH＝EH＝5，AE＝＝5，∠BAE＝45°，

又OB＝OC＝3，

∴∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝＝3，

設(shè)P（t，0），則BP＝3﹣t，

∵∠BAE＝∠ABC＝45°，

∴只可能存在△PBC∽△BAE和△PBC∽△EAB兩種情況，

當(dāng)△PBC∽△BAE時(shí)，，

∴＝，

∴t＝，

∴P1（，0）；

當(dāng)△PBC∽△EAB時(shí)，，

∴＝，

∴t＝﹣，

∴P2（﹣，0），

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（﹣，0），

故答案為：（，0）或（﹣，0）．