Question

6．如圖，已知∠ABC=90°，D是直線AB上的點，AD=BC．過點A作AF⊥AB，并截取AF=BD，連接DC，DF，CF．
（1）判斷△CDF的形狀并證明．
（2）若BC=6，AF=2，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）理由“ASA”證明△ADF≌△BCD得到DF=CD，∠ADF=∠BCD，再利用∠BCD+∠CDB=90°得到∠CDF=90°，則可判斷△CDF為等腰直角三角形；
（2）由△ADF≌△BCD得到AD=BC=6，AF=BD=2，然后計算AD-BD即可．

解答 解：（1）△CDF為等腰直角三角形．理由如下：
∵AF⊥AB，
∴∠DAF=90°，
在△ADF和△BCD中
$\left\{\begin{array}{l}{AF=DB}\\{∠DAF=∠CBD}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BCD，
∴DF=CD，∠ADF=∠BCD，
∵∠BCD+∠CDB=90°，
∴∠ADF+∠CDB=90°，即∠CDF=90°，
∴△CDF為等腰直角三角形；
（2）∵△ADF≌△BCD，
∴AD=BC=6，AF=BD=2，
∴AB=AD-BD=6-2=4．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸�條件．