已知,點P是直角三角形ABC斜邊AB上一動點(不與A,B重合),分別過A,B向直線CP作垂線,垂足分別為E,F(xiàn),Q為斜邊AB的中點.
作业宝
(1)如圖1,當點P與點Q重合時,AE與BF的位置關系是______,QE與QF的數(shù)量關系式______;
(2)如圖2,當點P在線段AB上不與點Q重合時,試判斷QE與QF的數(shù)量關系,并給予證明;
(3)如圖3,當點P在線段BA(或AB)的延長線上時,此時(2)中的結(jié)論是否成立?請畫出圖形并給予證明.

解:(1)AE∥BF,QE=QF,
理由是:如圖1,∵Q為AB中點,
∴AQ=BQ,
∵BF⊥CP,AE⊥CP,
∴BF∥AE,∠BFQ=∠AEQ=90°,
在△BFQ和△AEQ中

∴△BFQ≌△AEQ(AAS),
∴QE=QF,
故答案為:AE∥BF,QE=QF.

(2)QE=QF,
證明:如圖2,延長FQ交AE于D,
∵Q為AB中點,
∴AQ=BQ,
∵BF⊥CP,AE⊥CP,
∴BF∥AE,
∴∠QAD=∠FBQ,
在△FBQ和△DAQ中

∴△FBQ≌△DAQ(ASA),
∴QF=QD,
∵AE⊥CP,
∴EQ是直角三角形DEF斜邊上的中線,
∴QE=QF=QD,
即QE=QF.

(3)(2)中的結(jié)論仍然成立,
證明:如圖3,
延長EQ、FB交于D,
∵Q為AB中點,
∴AQ=BQ,
∵BF⊥CP,AE⊥CP,
∴BF∥AE,
∴∠1=∠D,
在△AQE和△BQD中,
,
∴△AQE≌△BQD(AAS),
∴QE=QD,
∵BF⊥CP,
∴FQ是斜邊DE上的中線,
∴QE=QF.
分析:(1)證△BFQ≌△AEQ即可;
(2)證△FBQ≌△DAQ,推出QF=QD,根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出即可;
(3)證△AEQ≌△BDQ,推出DQ=QE,根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出即可.
點評:本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定,直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的應用,注意:①全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,②全等三角形的性質(zhì)是:全等三角形的對應邊相等,對應角相等.
練習冊系列答案
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知矩形OABC,點P在邊OA上(不與端點重合),點Q在邊CO上(不與端點重合).
(1)如圖(1),若∠BPQ=90°,且△OPQ與△PAB和△QPB相似,請寫出表示這三個三角形相似的式子,并探究此時線段OQ、QB、BA之間的數(shù)量關系.
(2)若∠PQB=90°,且△OPQ與△PAB、△QPB都相似,如圖(2),請重新寫出表示這三個三角形相似的式子,并證明AB:OA=2
3
:3.
(3)在(1)中,若OA=8
2
,OC=8,OP=
2
CQ.以矩形OABC的兩邊OA、OC所在的直線分別為x軸和y軸,建立平面直角坐標系,如圖(3),若某拋物線頂點為P,點B在拋物線上.
①求此拋物線的解析式.
②過線段BP上一動點M(點M與點P、B不重合),作y軸的平行線交拋物線于點N,若記點M的橫坐標為m,試求線段MN的長L與m之間的函數(shù)關系式,畫出該函數(shù)的示意圖,并指出m取何值時,L有最大值,最大值是多少?

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,已知矩形OABC,點P在邊OA上(不與端點重合),點Q在邊CO上(不與端點重合).
(1)如圖(1),若∠BPQ=90°,且△OPQ與△PAB和△QPB相似,請寫出表示這三個三角形相似的式子,并探究此時線段OQ、QB、BA之間的數(shù)量關系.
(2)若∠PQB=90°,且△OPQ與△PAB、△QPB都相似,如圖(2),請重新寫出表示這三個三角形相似的式子,并證明AB:OA=2數(shù)學公式:3.
(3)在(1)中,若OA=8數(shù)學公式,OC=8,OP=數(shù)學公式CQ.以矩形OABC的兩邊OA、OC所在的直線分別為x軸和y軸,建立平面直角坐標系,如圖(3),若某拋物線頂點為P,點B在拋物線上.
①求此拋物線的解析式.
②過線段BP上一動點M(點M與點P、B不重合),作y軸的平行線交拋物線于點N,若記點M的橫坐標為m,試求線段MN的長L與m之間的函數(shù)關系式,畫出該函數(shù)的示意圖,并指出m取何值時,L有最大值,最大值是多少?

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.如圖,在平面直角坐標系中,已知點A(0,2),點P是x軸上一動點,以線段AP為一邊,在其一側(cè)作等邊三角線APQ。當點P運動到原點O處時,記Q得位置為B。

(1)求點B的坐標;

(2)求證:當點P在x軸上運動(P不與Q重合)時,∠ABQ為定值;

(3)是否存在點P,使得以A、O、Q、B為頂點的四邊形是梯形?若存在,請求出P點的坐標;若不存在,請說明理由。

 

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(1)求點B的坐標;
(2)求證:當點P在x軸上運動(P不與Q重合)時,∠ABQ為定值;
(3)是否存在點P,使得以A、O、Q、B為頂點的四邊形是梯形?若存在,請求出P點的坐標;若不存在,請說明理由。

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(1)求點B的坐標;

(2)求證:當點P在x軸上運動(P不與Q重合)時,∠ABQ為定值;

(3)是否存在點P,使得以A、O、Q、B為頂點的四邊形是梯形?若存在,請求出P點的坐標;若不存在,請說明理由。

 

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