Question

已知A（﹣1，0），B（0，﹣3），點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C的直線與y軸交于點(diǎn)D，與直線AB交于點(diǎn)E，且E點(diǎn)在第二象限．
（1）求直線AB的解析式；
（2）若點(diǎn)D（0，1），過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD于F，連接BC，求∠DBF的度數(shù)及△BCE的面積；
（3）若點(diǎn)G（G不與C重合）是動(dòng)直線CD上一點(diǎn)，且BG=BA，試探究∠ABG與∠ACE之間滿足的等量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

解：（1）依題意，設(shè)直線AB的解析式為 y=kx﹣3
∵A（﹣1，0）在直線上，
∴0=﹣k﹣3．
∴k=﹣3．
∴直線AB的解析式為y=﹣3x﹣3．
（2）如圖1，依題意，C（1，0），OC=1．由D（0，1），得OD=1．
在△DOC中，∠DOC=90°，OD=OC=1．可得∠CDO=45°．
∵BF⊥CD于F，
∴∠BFD=90°．
∴∠DBF=90°﹣∠CDO=45°．
可求得直線CD的解析式為y=﹣x+1 由   解得 
∴直線AB與CD的交點(diǎn)為E（﹣2，3）．
過(guò)E作EH⊥y軸于H，則EH=2．
∵B（0，﹣3），D（0，1），
∴BD=4．
∴S_△BCE=S_△BDE+S_△BDC= ×4×2+ ×4×1=6
（3）連接BC，作BM⊥CD于M．
∵AO=OC，BO⊥AC，
∴BA=BC．
∴∠ABO=∠CBO．
設(shè)∠CBO=α，則∠ABO=α，∠ACB=90°﹣α．
∵BG=BA，
∴BG=BC．
∵BM⊥CD，
∴∠CBM=∠GBM．
設(shè)∠CBM=β，則∠GBM=β，∠BCG=90°﹣β．
（i） 如圖2，當(dāng)點(diǎn)G在射線CD的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，
∵∠ABG=2α+2β=2（α+β） ∠ECA=180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣β）=α+β
∴∠ABG=2∠ECA．
（ii） 如圖3，當(dāng)點(diǎn)G在射線CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，
∵∠ABG=2α﹣2β=2（α﹣β） ∠ECA=（90°﹣β）﹣（90°﹣α）=α﹣β
∴∠ABG=2∠ECA．
綜上，∠ABG=2∠ECA．