Question

已知一拋物線過點O（0，0），A（6，0），B（4，3），
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）若P為拋物線在第一象限的一點，求△POA面積的最大值；
（3）拋物線的對稱軸與直線OB交于點M，點C的坐標是（0，3），點Q為拋物線的對稱軸上的一動點，以Q、O、M為頂點的三角形與△OBC相似，求出符合條件的Q點的坐標．

Answer 1

解：（1）設該拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，拋物線過（0，0）、（6，0），（4，3）三點，
得，
解得
所求拋物線的解析式為；

（2）∵△POA的底邊OA=6，
∴當S_△POA有最大值時，點P須位于拋物線的最高點，
∵，
∴拋物線的頂點為最高點，
∵==
∴頂點坐標為（3，）．
∴S_△POA的最大值=；

（3）拋物線的對稱軸與x軸的交點Q₁符合條件，
∵CB∥OA，
∴∠Q₁OM=∠B，
∵∠BCO=∠OQ₁M，
∴△Q₁OM∽△CBO
∴Q₁的坐標為（3，0）
過點O作OB的垂線交拋物線的對稱軸于Q₂，
∴∠Q₂OM=∠BCO=90°
∵對稱軸平行于y軸，
∴∠Q₂MO=∠BOC，
∴△Q₂MO∽△BOC
∵∠Q₂OM=∠COA=90°
∴∠Q₁OQ₂=∠COB
∵Q₁O=CO=3，∠Q₂Q₁O=∠BCO，
∴△Q₂Q₁O≌△BCO，
∴Q₁Q₂=CB=4，
∵點Q₂位于第四象限，
∴Q₂的坐標為（3，-4）
因此符合條件的點有兩個，分別是Q₁（3，0）、Q₂（3，-4）．
分析：（1）用待定系數法可求出此拋物線的解析式；
（2）易知拋物線的開口向下，且頂點在第一象限，由于OA的長為定值，若△POA的面積最大，那么P到OA的距離最長，所以此時P點為拋物線的頂點，可根據拋物線的解析式求出其頂點坐標，以OA為底，P點（即拋物線頂點）縱坐標絕對值為高即可求出△POA的最大面積；
（3）由于拋物線的對稱軸與OC平行，那么∠QMO=∠BOC，若以Q、O、M為頂點的三角形與△OBC相似，
有兩種情況需要考慮：
①∠OQM=∠BCO=90°；此時Q點為拋物線對稱軸與x軸的交點，根據拋物線對稱軸解析式即可求出其坐標；
②∠QOM=∠BCO=90°；根據同角的余角相等，易求得∠QOA=∠BOC，而OC=OO₁=3，即可證得△Q₂Q₁O≌△BCO，得Q₁Q₂=BC，由此可求出Q2的坐標．
點評：此題考查了二次函數解析式的確定、三角形面積的求法、相似三角形及全等三角形的判定和性質等知識，同時還考查了分類討論的數學思想，難度適中．