Question

已知：m、n是方程x²-6x+5=0的兩個實(shí)數(shù)根，且m＜n，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（m，0），B（0，n）且此時拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為C，拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）該拋物線對稱軸與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為______，S_△BCD=______；
（2）過點(diǎn)B作直線l，使直線l平分△BCD的面積，試求直線l的解析式．

Answer 1

解：（1）解方程x²-6x+5=0，得：x=1，x=5；
故m=1，n=5，
即A（1，0），B（0，5），
代入拋物線y=-x²+bx+c中，得：
，
解得；
即拋物線的解析式為：y=-x²-4x+5；
當(dāng)y=0時，-x²-4x+5=0，
解得x=1，x=-5，故C（-5，0）；
由于y=-x²-4x+5=-（x+2）²+9，
即D（-2，9）；
設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)為E，則E（-2，0），
S_△BCD=S_梯形OEDB+S_△CDE-S_△COB=（5+9）×2+×3×9-×5×5=15；
故拋物線與x軸的交點(diǎn)為（-2，0），
△BCD的面積為：15．

（2）由于C（-5，0），D（-2，9），則CD的中點(diǎn)Q（-，）；
若直線l平分△BCD的面積，則直線l必經(jīng)過Q、B兩點(diǎn)，設(shè)直線l的解析式為：y=kx+5，則有：
-k+5=，k=；
故直線l的解析式為：y=．
分析：（1）通過解方程可求得m、n的值，從而得到A、B的坐標(biāo)，然后根據(jù)A、B的坐標(biāo)即可確定拋物線的解析式，進(jìn)而可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸方程；設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)為E，根據(jù)拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，可得到DE、OE的長，A、C的坐標(biāo)易求得，即可得到OA、OC的值，可分別求出梯形OBDE、△CDE、△COB的面積，那么梯形OBDE、△CDE的面積和減去△COB的面積即為△BCD的面積．
（2）若直線l平分△BCD的面積，那么直線l必過CD的中點(diǎn)，可先根據(jù)C、D的坐標(biāo)得到CD的中點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線l的解析式．
點(diǎn)評：此題主要考查了用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的方法以及圖形面積的求法，屬于基礎(chǔ)知識，需要熟練掌握．