Question

如圖，在Rt△ABC中，斜邊AB過⊙O的圓心，∠BAC的平分線交BC于⊙O上的點D，AB交⊙O于點E．
（1）求證：BC切⊙O于點D；
（2）若AE=10，AD=8，求BD的長及tan∠B的值．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）連接OD，推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）連接DE，過D作DM⊥AB于M，求出DM，EM，推出BD²=BM²+DM²=BE×BA，求出BE，求BD，解直角三角形求出即可．

解答：（1）證明：連接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠OAD，
∴∠ODA=∠DAC，
∴OD∥AC，
∵∠C=90°，
∴∠ODB=∠C=90°，
∴OD⊥BC，
∵OD為半徑，
∴BC切⊙O于點D；

（2）解：連接DE，過D作DM⊥AB于M，
∵AE為直徑，
∴∠EDA=90°，
在Rt△EDA中，AE=10，AD=8，由勾股定理得：ED=6，
∵S_△EDA=

1

2

DE×AD=

1

2

AE×DM，
∴DM=

24

5

，
在Rt△EDM中，由勾股定理得：ME=

DE2-DM2

=

62-( 24 5 )2

=

18

5

，
∵BC切⊙O于D，
∴∠EDB=∠BAD，
∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAD，
∴

BD

BE

=

AB

BD

，
∴BD²=BE•BA，
在Rt△BDM中，BD²=BM²+DM²，
∴BM²+DM²=BE×BA，
∴（BE+

18

5

）²+（

24

5

）²=BE×（BE+10）
∴BE=

45

16

，
∴BD²=

45

16

×（

45

16

+10），
∴BD=

15 41

16

，
在Rt△BDO中，tanB=

OD

BD

=

5

15 41 16

=

16 41

123

．

點評：本題考查了角平分線定義，勾股定理，平行線性質和判定，定義三角形性質，解直角三角形，相似三角形的性質和判定的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力．