Question

（2003•武漢）已知：拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）經(jīng)過點（-1，0），且滿足4a+2b+c＞0，以下結(jié)論：①a+b＞0；②a+c＞0；③-a+b+c＞0；④b²-2ac＞5a²，其中正確的個數(shù)有（ ）
A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：（1）因為拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）經(jīng)過點（-1，0），把點（-1，0）代入解析式，結(jié)合4a+2b+c＞0，即可整理出a+b＞0；
（2）②+①×2得，6a+3c＞0，結(jié)合a＜0，故可求出a+c＞0；
（3）畫草圖可知c＞0，結(jié)合a-b+c=0，可整理得-a+b+c=2c＞0，從而求得-a+b+c＞0；
（4）把（-1，0）代入解析式得a-b+c=0，可得出2a+c＞0，再由a＜0，可知c＞0則c-2a＞0，故可得出（c+2a）（c-2a）＞0，即b²-2ac-5a²＞0，進而可得出結(jié)論．
解答：解：（1）因為拋物線y=ax²+bx+c（a＜0）經(jīng)過點（-1，0），
所以原式可化為a-b+c=0----①，
又因為4a+2b+c＞0----②，
所以②-①得：3a+3b＞0，
即a+b＞0；

（2）②+①×2得，6a+3c＞0，
即2a+c＞0，
∴a+c＞-a，
∵a＜0，
∴-a＞0，
故a+c＞0；

（3）因為4a+2b+c＞0，可以看作y=ax²+bx+c（a＜0）當(dāng)x=2時的值大于0，草圖為：
可見c＞0，
∵a-b+c=0，
∴-a+b-c=0，
兩邊同時加2c得-a+b-c+2c=2c，
整理得-a+b+c=2c＞0，
即-a+b+c＞0；

（4）∵過（-1，0），代入得a-b+c=0，
∴b²-2ac-5a²=（a+c）²-2ac-5a²=c²-4a²=（c+2a）（c-2a）
又∵4a+2b+c＞0
4a+2（a+c）+c＞0
即2a+c＞0①
∵a＜0，
∴c＞0
則c-2a＞0②
由①②知（c+2a）（c-2a）＞0，
所以b²-2ac-5a²＞0，
即b²-2ac＞5a²
綜上可知正確的個數(shù)有4個．
故選D．
點評：此題是一道結(jié)論開放性題目，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、一元二次方程根的個數(shù)和圖象的位置之間的關(guān)系，同時結(jié)合了不等式的運算，是一道難題．