Question

【題目】已知開口向上的拋物線交軸于點，，函數(shù)值的最小值是．

（1）求拋物線的解析式．

（2）點為拋物線上的點，并在對稱軸的左側(cè)．作軸交拋物線于點，連結(jié)，，且．

①求的值．

②若點在線段上，以點為圓心，為半徑畫圓．當和的一邊相切時，求點的橫坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②或．

【解析】

（1）將拋物線變形為，由函數(shù)值的最小值是，得，求得，即可得到拋物線的解析式；

（2）①連接，過點B作BD⊥OA于點D，由拋物線的解析式，可求得拋物線的對稱軸、B的橫坐標、C的橫坐標，繼而可求得B的坐標和C的坐標，可求得、；然后根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得，繼而可得，則可得到的值；

②由題意和圖象得，與不相切，所以需要分與相切、與相切兩種情況進行分類討論．當與相切時，⊥，由C的橫坐標為，得的橫坐標也為；當與相切時， ⊥，過、分別作直線的垂線、，交點分別為、，過作⊥于，根據(jù)，設，，繼而得，又，，然后根據(jù)，有，從而求得b，得到，即可得出的橫坐標．

（1），

∵函數(shù)值的最小值是，

∴，解得：，

∴拋物線的解析式為：；

（2）①如圖，連接，過點B作BD⊥OA于點D，

∵拋物線的解析式為：，

∴A(6,0)，OA=6，拋物線的對稱軸為直線x=3，

∵，∴，

∴，，

即點B的橫坐標為，點C的橫坐標為，

將，分別代入拋物線，得，

∴，，

∴，，

∵軸，∴，

∴，

即的值為；

②由題意和圖象可得，與不相切，所以需要分與相切、與相切兩種情況：

當與相切時，由以點為圓心、為半徑，可得切點為點，即⊥，

如圖，延長交于點，則⊥，

∵⊥，C的橫坐標為，

∴的橫坐標為；

當與相切時，則切點為點，即⊥，

如圖，分別過、分別作直線的垂線、，交點分別為、，過E作⊥于，

由（2）①得，則設，，

∴，

由（2）①得OA=6，，，

∴，，

可證，則有，即，解得，

∴，

∴，即的橫坐標為，

綜上可得，的橫坐標為或．