已知直線y=(m-1)x+3與函數(shù)y=x2+m的圖象的一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,
(1)求關(guān)于x的一元二次方程x2-(m-1)x+m-4=0的解.
(2)若將拋物線C1:y=x2-(m-1)x+m-4繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,得到圖象C2,點(diǎn)P為x軸上的一個動點(diǎn),過點(diǎn)P作x軸的垂線,分別與圖象C1、C2交于M、N兩點(diǎn),當(dāng)線段MN的長度最小時,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】分析:(1)將兩函數(shù)聯(lián)立,求出m即可得到方程,求解即可;
(2)利用二次函數(shù)旋轉(zhuǎn)180°后,系數(shù)之間的關(guān)系,得出新函數(shù)的解析式,在表示出M,N的坐標(biāo),即可解決.
解答:(1)解:∵直線y=(m-1)x+3與函數(shù)y=x2+m的圖象的一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,
∴2(m-1)+3=4+m
解得m=3
將m=3代入原方程化為x2-2x-1=0,
解得x1=1+,x2=1-

(2)解:將m=3代入得拋物線:y=x2-2x-1=(x-1)2-2,把拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,
可得新拋物線的解析式的二次項(xiàng)的系數(shù)為-1,頂點(diǎn)變?yōu)椋?1,2),
∴所求的拋物線解析式為:y=-(x+1)2+2=-x2-2x+1,
∴將拋物線y=x2-2x-1繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到的圖象C2的解析式為:y=-x2-2x+1.
設(shè)P(x,0),則M(x,x2-2x-1),N(x,-x2-2x+1),
∴MN=(x2-2x-1)-(-x2-2x+1)=2x2+2,
∴當(dāng)x=0時,MN的長度最小,此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0).
點(diǎn)評:此題主要考查了一元二次方程的判別式,以及一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,還有二次函數(shù)的旋轉(zhuǎn)等,題目綜合性較強(qiáng).
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